机器学习中的最大似然法：你真的懂吗？

机器学习中的最大似然法：你真的懂吗？

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CSDN

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来源

1.

https://blog.csdn.net/qq_51320133/article/details/137912409

2.

https://blog.csdn.net/zhaopeng_yu/article/details/138446443

3.

https://blog.csdn.net/lamusique/article/details/100268532

4.

https://blog.csdn.net/woody0518/article/details/136524018

5.

https://blog.csdn.net/2401_82942886/article/details/137562089

6.

https://blog.csdn.net/qq_51320133/article/details/137912409#t1

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https://cloud.tencent.com/developer/article/2458649

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https://www.cnblogs.com/hello-nullptr/p/18404728

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https://zh-cn.statisticseasily.com/%E8%AF%8D%E6%B1%87%E8%A1%A8/%E6%9C%80%E5%A4%A7%E4%BC%BC%E7%84%B6%E4%BC%B0%E8%AE%A1-mle/

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http://xishansnow.github.io/posts/46ae35f1.html

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https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E5%A4%A7%E4%BC%BC%E7%84%B6%E4%BC%B0%E8%AE%A1

在机器学习领域，最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）是一种广泛使用的参数估计技术。它凭借直观的原理和坚实的理论基础，在众多统计模型构建过程中成为首选策略。本文将深入探讨最大似然估计的理论基础、算法原理、实现细节以及实际应用案例，帮助读者全面理解这一重要方法。

最大似然估计的基本思想是通过最大化观测数据出现的概率来找到最优的参数值。具体来说，假设我们有一个概率分布函数 (P(X; \theta))，其中 (X) 是观测数据，(\theta) 是我们要估计的参数。最大似然估计的目标是找到一个参数 (\hat{\theta})，使得在给定 (\hat{\theta}) 的情况下，观测到的数据出现的概率最大。

数学上，最大似然估计可以通过最大化似然函数 (L(\theta) = P(X; \theta)) 来实现。通常，为了简化计算，我们会对似然函数取对数，得到对数似然函数 (l(\theta) = \log L(\theta))，然后通过求导数并令其等于零来求解最优参数 (\hat{\theta})。

具体示例

以高斯分布参数估计为例，假设我们有一组独立同分布的样本数据 (X = {x_1, x_2, ..., x_n})，这些数据服从均值为 (\mu)、方差为 (\sigma^2) 的正态分布。我们的目标是估计 (\mu) 和 (\sigma^2)。

高斯分布的概率密度函数为：
[p(x|\mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}]

似然函数为：
[L(\mu, \sigma^2) = \prod_{i=1}^{n} p(x_i | \mu, \sigma^2)]

对数似然函数为：
[\ln L(\mu, \sigma^2) = -\frac{n}{2} \ln (2\pi\sigma^2) - \sum_{i=1}^{n} \frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2}]

通过对 (\ln L(\mu, \sigma^2)) 求导数并令其等于零，可以求解得到最大似然估计的均值和方差的公式：
[\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i]
[\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \hat{\mu})^2]

最大似然估计的实现通常包括以下几个关键步骤：

1. 确定模型与似然函数：首先，根据问题背景选择一个合适的概率模型，如高斯分布、伯努利分布、多项式分布等。然后，根据选定的模型形式写出对应的似然函数。

2. 求解最大似然估计：通常，直接最大化似然函数或对数似然函数可能会遇到非凸、无解析解等问题。此时，可以借助数值优化方法，如梯度上升法、牛顿法、拟牛顿法或现代优化算法（如L-BFGS、Adam等），通过迭代寻找使对数似然函数最大化的参数值。

3. 评估与验证：获得最大似然估计参数后，需对其进行评估，如计算预测误差、交叉验证等，确保所选参数能有效拟合数据并具有良好的泛化能力。

最大似然估计在机器学习中有许多具体应用案例：

1. 逻辑回归：在二分类问题中，通过最大化似然函数来找到最佳的权重和偏置参数。

2. 深度学习：在神经网络训练中，最大似然估计被用于优化网络中的权重参数。

3. 隐马尔可夫模型：Baum-Welch算法是执行HMM MLE的最常见方法，它是一种特殊的期望最大化（EM）算法。

4. 多类线性回归：通过最大化似然函数来估计模型参数。

5. 朴素贝叶斯分类器：用于估计条件概率分布。

最大似然估计具有以下优点：

• 统计性质强：在大样本情况下，MLE具有渐近无偏性、一致性和渐近正态性等良好统计性质。
• 简单直观：原理易于理解，实现相对简单。

但也存在一些缺点：

• 计算复杂度：在复杂模型中，最大似然估计可能需要复杂的数值优化算法来求解。
• 小样本偏差：对于小样本数据，MLE可能会产生偏差。

为了解决小样本数据下的偏差问题，可以采取以下几种方法：

1. 偏差校正技术：通过推导偏差的逻辑表达式并进行校正。
2. 引入修正函数：在MLE中引入修正函数 (g_m(t))。
3. 使用未分箱的最大似然法：避免因分箱导致的信息损失。
4. 最小描述长度法（MUMLE）：通过模型规范化方法预防偏差。
5. 直接最大似然法：与期望最大化相比，直接最大似然在多变量正态分布下可以产生更准确的结果。

最大似然估计与最大后验概率（MAP）的主要区别在于是否考虑先验概率。MLE只关注数据本身，而MAP则将参数的先验知识纳入考虑范围。在先验概率均匀分布的情况下，MLE和MAP的结果是相同的。

与最小二乘法相比，MLE更适用于处理概率模型的参数估计问题，特别是在数据服从特定概率分布的情况下。最小二乘法则更多用于线性回归等简单模型的参数估计。

最大似然估计作为机器学习中重要的参数估计技术，凭借其坚实的理论基础和广泛的应用场景，在统计模型构建中占据重要地位。尽管存在一些局限性，但通过不断优化和改进，MLE在处理复杂数据和模型时仍能发挥重要作用。随着机器学习技术的不断发展，MLE将继续在数据分析和模型训练中发挥关键作用。