笛卡儿坐标系：图形变换大揭秘！

笛卡儿坐标系：图形变换大揭秘！

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来源

1.

https://blog.csdn.net/ACK_ACK/article/details/140562841

2.

https://blog.csdn.net/972301/article/details/136043873

3.

https://blog.csdn.net/shebao3333/article/details/142784448

4.

https://blog.csdn.net/qq_32381353/article/details/136566985

5.

https://blog.csdn.net/colorant/article/details/136555253

6.

https://blog.csdn.net/m0_65216733/article/details/138429139

7.

https://www.cnblogs.com/silence-cho/p/16470240.html

8.

https://docs.openharmony.cn/pages/v4.1/zh-cn/application-dev/reference/apis-arkui/arkui-ts/ts-universal-attributes-transformation.md

9.

https://www.bilibili.com/read/cv33857529/

在数学和计算机科学领域，笛卡儿坐标系是描述和分析几何图形的基础工具。通过在平面直角坐标系中对图形进行变换，我们不仅能更好地理解图形的位置与形状关系，还能在解决实际问题时提供有效的方法。本文将带你深入了解四种基本的图形变换：平移、旋转、轴对称和位似。

平移是最简单的图形变换之一，它指的是将图形沿某一方向移动一定距离，但不改变其大小和形状。在平面直角坐标系中，平移可以通过改变点的坐标来实现。

平移的规律

设点P(x, y)向右平移a个单位，向上平移b个单位，则新坐标为 (x+a, y+b)。这个规律可以简单理解为：横坐标加移动的水平距离，纵坐标加移动的垂直距离。

实际应用

平移在计算机图形学、机器人导航等领域有着广泛的应用。例如，在AGV（自动导引车）导航中，通过坐标系的平移和旋转，可以实现激光雷达点云数据的精确转换，帮助小车在复杂环境中定位和避障。

旋转是指图形围绕某固定点（通常是原点）转动一定的角度。在平面直角坐标系中，旋转可以通过特定的公式来计算新坐标。

旋转的公式

点P(x, y)绕原点逆时针旋转θ度后的新坐标为 (xcosθ - ysinθ, xsinθ + ycosθ)。如果需要顺时针旋转，则将θ改为-θ。

特殊角度的旋转

• 90°顺时针：(y, -x)
• 90°逆时针：(-y, x)
• 180°：(-x, -y)

这些特殊角度的旋转公式可以帮助我们快速计算新坐标，而无需使用三角函数。

应用场景

旋转在图像处理和计算机视觉中非常重要。例如，在数据增强技术中，通过对图像进行旋转，可以增加训练数据的多样性，提高模型的鲁棒性和泛化能力。

轴对称是指以某直线为对称轴，使图形两侧完全重合。在平面直角坐标系中，常见的对称类型有三种：

• 关于x轴对称：(x, y) → (x, -y)
• 关于y轴对称：(x, y) → (-x, y)
• 关于原点对称：(x, y) → (-x, -y)

轴对称在几何问题中经常用到，可以帮助我们简化问题，找到图形之间的关系。

位似是一种特殊的相似变换，它以某点为中心，按比例放大或缩小图形。在平面直角坐标系中，位似可以通过简单的坐标计算来实现。

位似的性质

• 对应线段平行且成比例
• 对应点连线交于位似中心

坐标表示

若位似中心为原点，位似比为k，则点P(x, y)的像为 (kx, ky)。如果k>1，图形会放大；如果0<k<1，图形会缩小。

位似在地图制作、建筑设计等领域有重要应用。例如，通过位似变换，可以将实际地形按比例缩小绘制在地图上。

为了更好地理解这些变换，让我们以一个具体的例子来演示它们的应用。假设我们有一个三角形ABC，其顶点坐标分别为A(1, 2), B(3, 4), C(5, 6)。

平移

向右平移2个单位，向上平移1个单位，得到A'(3, 3), B'(5, 5), C'(7, 7)。

旋转

绕原点逆时针旋转90°，得到A'(-2, 1), B'(-4, 3), C'(-6, 5)。

轴对称

关于y轴对称，得到A'(-1, 2), B'(-3, 4), C'(-5, 6)。

位似

以原点为中心，位似比为2，得到A'(2, 4), B'(6, 8), C'(10, 12)。

通过这些变换，我们可以灵活地分析和解决问题，同时加深对图形位置和性质的理解。

平面直角坐标系中的图形变换不仅是数学理论的重要组成部分，更在实际应用中发挥着关键作用。从AGV小车的导航系统到图像处理中的数据增强，从计算机视觉中的物体检测到3D图形学中的场景渲染，这些变换无处不在。

掌握这些基本的图形变换技巧，不仅能帮助我们更好地理解几何图形的性质，还能在解决实际问题时提供有效的工具。无论是学习数学、计算机科学，还是从事相关领域的研究和开发，这些知识都将为你提供强大的支持。