牛顿第二运动定律
牛顿第二运动定律
牛顿第二运动定律是经典力学中的重要定律之一，它描述了物体运动状态的变化与所受外力之间的关系。该定律不仅在物理学研究中具有重要地位，也是工程学、天文学等多个领域的重要理论基础。本文将详细介绍牛顿第二运动定律的定义、历史背景及其在不同物理现象中的应用。
定理
牛顿第二运动定律的原始表述是：物体的运动变化与受力成正比，并且方向指向力的方向。牛顿所说的“运动”指的是动量，它是一个矢量，定义是质量与速度矢量的乘积，即
在实际情况中，质量、力和速度都有可能随时间变化。一般地，牛顿第二运动定律的数学表达式是
如果质量不随时间变化，那么牛顿第二定律的如下表达式更为常用
作用在物体上的力符合矢量叠加的法则，因此物体运动状态改变的方向是合力的方向。对于质点，如果所受合力为零，那么质点的动量就不会改变，此时我们称之为质点处于机械平衡状态。
最初，牛顿第二定律是用加速度来表示的物体运动状态的改变。牛顿第二定律常被认为定义了力。因此，可以说牛顿第二定律可以说为力与运动的研究提供了一个框架。
研究历史
1673年，克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）在他的著作《摆钟》中提出了这样一个假设：“由于重力作用，无论其来源如何，物体的运动都由一个方向或另一个方向的匀速运动和由于重力的向下运动组成”。牛顿第二定律将其中的重力推广到所有力。
1684年8月起，在埃德蒙多·哈雷的劝说下，牛顿开始写作《自然哲学的数学原理》，系统地整理手稿，重新考虑部分问题。1685年11月，形成了两卷专著。1687年7月5日，《原理》使用拉丁文出版。在《原理》的绪论部分中的“运动的公理或定律”一节中提出了牛顿第二运动定律。
应用
自由落体运动
如果一个物体在地球表面附近以静止的状态坠落，在忽略空气阻力的情况下，物体将以加速度保持不变的直线运动落下，这就是自由落体运动。根据万有引力公式，地心引力大小是：
其中
是万有引力常数；分别
，是地球和下落物体的质量；
是离地心的距离。在离地球不远处，
可以认为是地球半径。因此重力加速度是
如果物体并非从静止开始下落，而是有一个平行于地面的速度，那么物体的运动可以被分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的匀加速直线运动，物体的运动轨迹将会是抛物线。
曲线运动
曲线运动
先考虑最简单的匀速圆周运动的情况。匀速圆周运动并不是匀速运动，因为速度的方向时刻在变化，有一个加速度。设角速度是
，那么圆周运动的速度是
。其中
的大小是物体单位时间转过的角度，方向可以用右手定则来确定：用手握住旋转的方向，大拇指的方向即
的方向。因此，匀速圆周运动的角速度和维持匀速圆周运动需要的力是
可以看出，匀速圆周运动质点的加速度和需要受到的力都指向圆心。对于任意曲线运动，加速度可以被分解为沿着运动方向的加速度和垂直运动方向的加速度。对于垂直运动方向的加速度，它的作用效果是使质点绕着一个等效的圆周运动，其半径被称为曲率半径。
简谐运动
如果质点受力大小与偏离平衡位置的距离成正比，方向与偏离平衡位置的位移方向相反，那么质点将做简谐振动。一个常见的例子是弹簧。运动方程是
这个微分方程的解是
其中角频率
。根据初始条件可以确定待定系数
。
简谐振动的一个重要的例子是钟摆的运动。钟摆受的力是重力，运动方程是
钟摆
如果角度很小，那么将等号右边保留到泰勒展开的一阶，可以得到钟摆摆动频率的公式
。
变质量物体的运动
不失一般性，对于可变质量的体系，可以考虑如下过程：质量为
的物体以速度
运动，吸收了质量是
，速度为
的物体。对于火箭喷出气体的过程，物理量的符号应当根据实际情况改变。那么这个过程前后总动量分布是
那么动量的改变量是
。根据牛顿第二定律，可以得到可变质量物体的运动的方程是
其中
是外力，
是逃逸或进入的质量相对于质心的相对速度，
是物体的速度。在处理火箭等航天器的运动时，这个方程十分重要。理想火箭满足：1.没有外力作用于火箭上；2.火箭直线上升，喷出气体相对于火箭的速度恒定。理想火箭的运动学方程是
这个方程的解是
是包含推进剂的总质量，
是最终的质量。
是速度的变化。这个方程被称为齐奥尔科夫斯基方程。
实验验证
牛顿第二运动定律实验是物理中的一个很基础、必要的验证性实验，涉及到检验一个物理定律或规律的基本途径和方法，因此对于其实验精度往往有特殊的要求。
牛顿第二运动定律验证实验，就是测量在不同的
作用下运动系统的加速度
，并检验二者之间是否符合上述关系。
利用现代的实验教学设施改进和补充原来的实验手段，更能体现出物理学的科学素养和科学态度。
牛顿第二运动定律主要的实验验证方法实验验证方法 图示
用打点计时器法验证：研究系统的加速度与系统的质量和拉力间的关系时，将打点计时器固定在木板的一端，把砝码和小车栓在细线的两端，细线跨过滑轮，砝码的重量作为拉力，让拖着纸带的小车在平直的平面上运动，则小车及其上的砝码、线的另一端栓着的钩码组成一个运动系统。每次实验均须在纸带上注明拉力和系统的质量。为了抵消摩擦力，通常采取以下两种方法：倾斜滑动法、水平拉线法。[7] 倾斜滑动法和水平拉线法[7]
在气垫导轨上验证：将气垫导轨调平后（由于导轨都存在一定的弯曲，滑块与导轨间存在阻力，所以调平在实验中一般用滑块通过两个光电门时的速度相等来衡量），测出粘性阻尼常数b。为了修正粘滞性摩擦阻力的存在所引起的速度损失，必须解决粘滞性阻尼常数的测定问题。其方法主要有以下两种：倾斜导轨法、振动法。[7] 倾斜导轨法[7]
用非线性回归法验证：在气垫导轨上验证定律影响测量的主要因素是空气阻力，通过修正可将影响减小到可忽略的程度。但常采用的一元线性回归法，不足以说明整个回归方程的好坏；二元线性回归法也同样存在一定的问题。用非线性回归法验证定律，首先对质点运动的动力学模型进行线性化处理，得到模型的参数线性估计值，并以其作为非线性模型的初值对动力学模型进行非线性回归分析。非线性回归法验证了定律的正确性，改进了验证定律的传统实验方法，具有一定的应用和推广价值。[8-9] 牛顿第二运动定律非线性拟合图[9]
此外，验证牛顿第二运动定律还有基于LabVIEW的教学平台、基于无线模块和Visual Basic的仿真演示实验设计、基于光电传感器的实验装置。