特征多项式在矩阵运算中的妙用

特征多项式在矩阵运算中的妙用

引用

CSDN

等

11

来源

1.

https://blog.csdn.net/weixin_49342084/article/details/143257736

2.

https://blog.csdn.net/weixin_49342084/article/details/143134701

3.

https://www.thepaper.cn/newsDetail_forward_28923953

4.

https://blog.csdn.net/atwdy/article/details/144727319

5.

https://cloud.baidu.com/article/3103549

6.

https://blog.csdn.net/m0_53605808/article/details/143036773

7.

https://blog.csdn.net/weixin_39699362/article/details/136325488

8.

https://wenku.csdn.net/column/5jh65zbgz7

9.

https://blog.csdn.net/LI_XIAO_XING/article/details/142134190

10.

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E8%89%B2%E5%AE%9A%E7%90%86

11.

https://www.explinks.com/blog/wx-artificial-intelligence-math-foundations-linear-algebra-eigenvalues-and-eigenvectors/

在矩阵理论中，特征多项式是一个重要的概念，它不仅帮助我们理解矩阵的特性，还在矩阵运算中发挥着关键作用。本文将探讨特征多项式的定义、性质及其在矩阵运算中的具体应用。

对于一个方阵 (A)，其特征多项式定义为：
[p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)]
其中，(I) 是单位矩阵，(\lambda) 是标量变量。这个多项式的根就是矩阵 (A) 的特征值。

以一个三阶矩阵为例：
[A = \begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{pmatrix}]
其特征多项式为：
[p_A(\lambda) = \det \begin{pmatrix} a-\lambda & b & c \ d & e-\lambda & f \ g & h & i-\lambda \end{pmatrix}]

通过代数余子式展开，我们可以得到一个关于 (\lambda) 的三次多项式：
[p_A(\lambda) = -\lambda^3 + (a+e+i)\lambda^2 + (-ae-ai+fh-bd+cd+ge-di)\lambda + (aei+bfg-afh-bdi-cdg)]

观察这个多项式，我们可以发现：

• 三次项系数总是 -1
• 二次项系数等于矩阵的迹（对角线元素之和）
• 常数项等于矩阵的行列式

特征多项式在矩阵对角化中扮演着重要角色。一个方阵 (A) 可以对角化的充分必要条件是：对于 (A) 的每一个特征值，其几何重数等于其代数重数。

• 代数重数：特征值 (\lambda) 作为特征多项式根的重数
• 几何重数：对应于 (\lambda) 的特征空间的维数（即线性无关特征向量的个数）

例如，考虑矩阵：
[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & 2 \end{pmatrix}]
其特征多项式为 ((2 - \lambda)^2 = 0)，所以特征值 (\lambda = 2) 的代数重数为 2。但是，对应于 (\lambda = 2) 的特征向量只有一个线性无关的向量（例如，(\begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix})），几何重数为 1。由于几何重数不等于代数重数，这个矩阵不可对角化。

哈密顿-凯莱定理指出，任何方阵 (A) 都满足其特征多项式，即 (p_A(A) = 0)。这一性质在矩阵运算中特别有用，尤其是在处理矩阵的高次幂时。

例如，假设我们有一个矩阵 (A)，其特征多项式为：
[p_A(\lambda) = \lambda^2 - 3\lambda + 2]
根据哈密顿-凯莱定理，我们有：
[A^2 - 3A + 2I = 0]
这可以用来简化 (A) 的高次幂的计算。例如，要计算 (A^3)，我们可以使用上述关系：
[A^3 = A \cdot A^2 = A(3A - 2I) = 3A^2 - 2A = 3(3A - 2I) - 2A = 7A - 6I]

考虑矩阵：
[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & 1 \end{pmatrix}]
其特征多项式为：
[(2 - \lambda)(1 - \lambda) = 0]
特征值为 (\lambda_1 = 1) 和 (\lambda_2 = 2)。

对于 (\lambda_1 = 1)：
[(A - I)v = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}]
解得特征向量 (\begin{pmatrix} -1 \ 1 \end{pmatrix})。

对于 (\lambda_2 = 2)：
[(A - 2I)v = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}]
解得特征向量 (\begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix})。

由于 (A) 有两个线性无关的特征向量，它可以对角化。我们可以通过特征向量构造矩阵 (P)，使得 (P^{-1}AP) 是对角矩阵。

这个例子展示了特征多项式在矩阵运算中的强大应用，从求解特征值到矩阵对角化，再到简化高次幂计算，特征多项式都是不可或缺的工具。