掌握二次函数，轻松应对中考数学！
掌握二次函数，轻松应对中考数学！
二次函数是中考数学的重要考点，常常出现在压轴题中。今天，我们通过一道典型的二次函数题目，来详细讲解解题思路和方法。
题目再现
已知抛物线 (y = ax^2 + bx + c) 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D。若 A(-1,0)，C(0,-3)，且对称轴为直线 (x=1)。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 判断△ACD 的形状，并说明理由；
(3) 抛物线上是否存在点 P，使得四边形 ACBP 为平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。
解题思路
(1) 求抛物线的解析式
由题意知，抛物线过点 A(-1,0) 和 C(0,-3)，对称轴为 (x=1)。利用这些条件可以建立方程组解出系数 (a)、(b) 和 (c)。
- 步骤一： 将 A 和 C 的坐标代入抛物线方程。
- 步骤二： 使用对称轴公式 (-\frac{b}{2a} = 1) 建立方程。
- 步骤三： 解方程组得到 (a)、(b) 和 (c) 的值。
(2) 判断 △ACD 的形状
先确定顶点 D 的坐标，再计算各边长或角度关系来判断三角形类型。
- 步骤一： 根据顶点公式求出 D 的坐标。
- 步骤二： 计算 AC、AD 和 CD 的长度。
- 步骤三： 分析边长关系，判断三角形类型。
(3) 探究是否存在点 P 形成平行四边形
假设存在点 P，通过平行四边形性质和中点坐标公式求解。
- 步骤一： 设 P 的坐标并表示向量 (\overrightarrow{AB}) 和 (\overrightarrow{CP})。
- 步骤二： 利用平行四边形对角线互相平分的性质建立方程。
- 步骤三： 解方程验证 P 是否在抛物线上。
参考答案
(1) 求解析式
将 A(-1,0) 和 C(0,-3) 代入 (y = ax^2 + bx + c)：
[ \begin{cases} a - b + c = 0 \ c = -3 \end{cases} ]
又因为对称轴为 (x = 1)，所以 (-\frac{b}{2a} = 1)。
联立以上方程解得：(a = 1)，(b = -2)，(c = -3)。因此，抛物线的解析式为：
[ y = x^2 - 2x - 3 ]
(2) 判断 △ACD 的形状
顶点 D 的坐标为 ((1, -4))。计算边长：
- (AC = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{10})
- (AD = \sqrt{(1+1)^2 + (-4)^2} = 2\sqrt{5})
- (CD = \sqrt{(1-0)^2 + (-4+3)^2} = \sqrt{2})
由于 (AC^2 + CD^2 = AD^2)，满足勾股定理，故 △ACD 是直角三角形。
(3) 存在性问题
设 P(m, n)，则 (\overrightarrow{AB} = (3, 0))，(\overrightarrow{CP} = (m, n+3))。由平行四边形性质知：
[ m = 3, \quad n = -6 ]
验证 P(3, -6) 是否在抛物线上：
[ -6 = 3^2 - 2 \times 3 - 3 ]
成立，故存在点 P(3, -6) 使四边形 ACBP 为平行四边形。
解题要点总结
掌握基本性质： 对称轴公式 (-\frac{b}{2a})、顶点坐标公式 (\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a}\right)) 是解题基础。
灵活运用解题方法： 如配方法、公式法等，根据题目条件选择合适的方法。
注意细节： 在计算过程中要注意符号的处理，避免粗心导致错误。
几何与代数结合： 二次函数问题往往与几何图形结合，要善于利用几何性质辅助解题。
拓展阅读
除了这道题目，二次函数在中考中还可能涉及以下考点：
图像变换： 如平移、拉伸、缩放等，要注意区分横向和纵向变换的影响。
实际应用： 如物体抛物运动、最大利润等问题，要善于建立函数模型。
动点问题： 涉及动点运动轨迹的二次函数问题，需要建立坐标系、运用函数性质求解。
掌握这些考点和解题技巧，可以让你在中考中更加从容应对二次函数相关题目。记住，多做练习、多总结经验是提高解题能力的关键。祝你中考取得好成绩！