高考数学必考：极限概念全解析
高考数学必考：极限概念全解析
在高考数学中，极限是一个重要的考点，它不仅是微积分的基础，也是解决许多实际问题的关键工具。本文将从极限的基础概念、常见题型、解题方法以及实战演练等方面，全面解析高考数学中的极限问题，帮助考生更好地掌握这一知识点。
极限的基础概念
极限是描述函数或数列在无限过程中的变化趋势的重要概念。在高中数学中，我们主要关注数列极限和函数极限。
数列极限
对于无穷实数数列 ({x_n})，如果存在实数 (a)，使得对任意正数 (\varepsilon)（无论多小），都存在正整数 (N)，满足当 (n > N) 时，不等式 (|x_n - a| < \varepsilon) 恒成立，则称 (a) 是数列 ({x_n}) 的极限，记作 (\lim_{n \to \infty} x_n = a)。
函数极限
- 当自变量趋于有限值时，若函数 (f(x)) 在 (x_0) 的去心邻域内有定义，并且对任意 (\varepsilon > 0)，存在正数 (\delta)，当 (0 < |x - x_0| < \delta) 时，有 (|f(x) - A| < \varepsilon)，则称 (A) 是 (f(x)) 当 (x \to x_0) 时的极限。
- 当自变量趋于无穷大时，若对任意 (\varepsilon > 0)，存在正数 (X)，当 (|x| > X) 时，有 (|f(x) - A| < \varepsilon)，则称 (A) 是 (f(x)) 当 (x \to \infty) 时的极限。
理解极限的概念是解题的基础，但高考更侧重于考查极限的计算和应用。下面我们将介绍几种常见的极限题型。
高考中常见的极限题型
1. 判断函数是否相同
题目：判断函数(f(x)=x^{2}\frac{2x}{3 - 1}+x + 1)与函数(g(x)=x - 1)是否相同。
答案：这两个函数不同。因为当两个函数的定义域和函数关系一样时，则这两个函数是一样的。(f(x))与(g(x))函数关系一样，但定义域不同，所以是不同的函数。
2. 函数极限与无穷大关系
题目：如果(f(x)>M)（(M)为一个常数），判断(f(x))是否为无穷大。
答案：错误。根据无穷大的定义，仅(f(x)>M)不能判定(f(x))为无穷大。
3. 函数极限与有界数列关系
题目：如果数列有界，判断其极限是否存在。
答案：错误。例如数列(x_{n}=(-1)^{n})是有界数列，但极限不存在。
4. 数列极限双向性
题目：若(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a)，判断(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a)是否恒成立。
答案：错误。如数列(a_{n}=(-1)^{n})，(\lim_{n\rightarrow\infty}(-1)^{n})在(n\rightarrow\infty)时，(\lim_{n\rightarrow\infty}(-1)^{n}=1)，但(\lim_{n\rightarrow\infty}(-1)^{n})不存在。
5. 函数极限与无穷小关系
题目：如果(\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=A)，判断是否有(f(x)=A+\alpha)（当(x\rightarrow\infty)时，(\alpha)为无穷小）。
答案：正确。根据函数、极限值、无穷小量的关系可得出。
6. 等价无穷小关系
题目：如果(\alpha\sim\beta)，判断(\alpha-\beta = o(\alpha))是否成立。
答案：正确。因为(\lim\frac{\beta}{\alpha}=1)，所以(\lim\frac{\alpha-\beta}{\alpha}=\lim(1 - \frac{\beta}{\alpha}) = 0)，即(\alpha-\beta)是(\alpha)的高阶无穷小量。
极限的解题方法与技巧
1. 直接法
从题设条件出发，运用数学知识通过推理或计算得出结论，再对照各选项作出判断的方法称为直接法。直接法的思路是肯定一个结论，是将选择题当作解答题求解的常规解法。对一些为考查考生的逻辑推理能力和计算能力而设计编拟的定量型选择题常用直接法求解。
例题：计算(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{11n^{2}-22}{22n^{4}+4n - 4})
解析：观察所求极限特征，分母次数为4，分子次数为2。分子分母同时除以(n^{4})，得到(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{11}{n^{2}}-\frac{22}{n^{4}}}{22+\frac{4}{n^{3}}-\frac{4}{n^{4}}})，当(n)趋近无穷大时，极限等于0。
2. 筛选法（排除法）
当题目题设条件未知量较多或关系较复杂，不易从正面突破，但根据一些性质易从反面判断某些答案是错误的时候，可用筛选法排除不正确的选项，得到正确答案。筛选法思路是否定三个结论，有些问题在仔细审视之后，凭直觉可迅速作出筛选。
3. 特例法
有些选择题涉及的数学问题具有一般性，而提供的选择支往往互相矛盾（即任意两个选择支不能同时成立），这类选择题要严格推证比较困难，此时不妨从一般性问题退到特殊性问题上来，通过取适合条件的特殊值、特殊图形、特殊位置等进行分析，往往能简缩思维过程、降低难度而迅速得解。
4. 数形结合法
对于一些具有几何背景的数学问题，如能构造出与之相应的图形进行分析，往往能在数形结合、以形助数中获得形象直观的解法。
5. 验证法
将题目所提供的各选择支或特值逐一代入题干中进行验证，从而确定正确的答案。有时可通过初步分析，判断某个（或某几个）选项正确的可能性较大，再代入检验，可节省时间。
6. 估算法
由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程。因此可以猜测、合情推理、估算而获得。这样往往可以减少运算量，当然自然加强了思维的层次。
7. 特征分析法
通过对题干和选择支的关系进行分析，挖掘出题目中的各种特征，如结构特征、数字特征、取值范围特征、图形特征、对称性特征、整体特征等，从而发现规律，快速辨别真伪。
8. 利用极限思想
极限思想是一种基本而重要的数学思想。当一个变量无限接近一个定量，则变量可看作此定量。对于某些选择题，若能恰当运用极限思想思考，则往往可使过程简单明快。
实战演练
例题1
求极限(\lim_{x\rightarrow0}\frac{2x + 14\sin9x}{16x - 27\sin5x})
解析：
方法一：利用重要极限公式(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1)，(\lim_{x\rightarrow0}\frac{2x + 14\sin9x}{16x - 27\sin5x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2+14\frac{\sin9x}{x}}{16 - 27\frac{\sin5x}{x}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2 + 126\frac{\sin9x}{9x}}{16-135\frac{\sin5x}{5x}}=\frac{2 + 126}{16 - 135}=-\frac{128}{119})。
方法二：使用罗必塔法则，(\lim_{x\rightarrow0}\frac{2x + 14\sin9x}{16x - 27\sin5x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2+14\times9\cos9x}{16 - 27\times5\cos5x}=\frac{2+14\times9}{16 - 27\times5}=-\frac{128}{119})。
例题2
求极限(\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{3}-29x + 28}{x^{4}-17x + 16})
解析：观察极限特征，(x = 1)是极限函数的可去间断点，因为分子分母含有公因式(x - 1)。(\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{3}-29x + 28}{x^{4}-17x + 16}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{(x - 1)(x^{2}+x - 28)}{(x - 1)(x^{3}+x^{2}+x - 16)}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{2}+x - 28}{x^{3}+x^{2}+x - 16}=\frac{1 + 1-28}{1 + 1+1 - 16}=2)。
例题3
计算(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{42n - 26n - 19}{28+3n - 9n^{2}})
解析：
方法一：分子分母同时除以(n^{2})，(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{42 - 26\frac{1}{n}-19\frac{1}{n^{2}}}{28\frac{1}{n}+3\frac{1}{n}-9}=\frac{42 - 0}{0 - 9}=-\frac{14}{3})。
方法二：该极限符合洛必达法则，(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{42n - 26n - 19}{28+3n - 9n^{2}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{84n - 26}{3 - 18n})，继续使用罗必塔法则，(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{84 - 0}{0 - 18}=-\frac{14}{3})。
通过以上例题可以看出，极限的计算需要灵活运用各种方法和技巧。在实际解题过程中，考生应根据题目特点选择最合适的解题策略。
总结
极限是高考数学中的一个重要考点，掌握好极限的概念、题型和解题方法对于取得高分至关重要。本文从基础概念入手，详细介绍了高考中常见的极限题型，并提供了多种实用的解题方法。希望考生通过大量练习和不断总结，能够熟练掌握极限的相关知识，在考试中取得优异成绩。