林明成——对数均值不等式及其应用（解题研究）

林明成——对数均值不等式及其应用（解题研究）

对数均值不等式是数学中的一个重要概念，其在解题中的应用具有一定的实用价值。本文将介绍对数均值不等式的定义、证明及其在数学解题中的应用。

定义两个不相等的正数的对数平均数为
其结构简单, 内涵丰富, 是一个非常实用的不等式. 特别是将对数均值不等式进行拓展和延伸可以得到一些优美的结果. 近年来, 围绕着对数均值不等式及其变式的极值点偏移新题层出不穷.无疑对数平均值不等式是破解高考导数大题的利器.
所以函数g(t)在(1,∞)上单调递增,故g(t)>g(1)>0,从而②式成立.
综上,对数均值不等式得证.
二、几点说明
1. 选择题、填空题可直接用对数均值不等式.
对数均值不等式是双变元的对称结构, 因此对称的双变元问题往往可用对数均值不等式解决.解答题中不能直接使用对数均值不等式, 应当先证明后应用. 本专题的例题直接使用.
对数均值不等式实际上是对数不等式链在双变元情形下的应用.
点评 应用对数均值不等式证明极值点偏移问题,解法简捷巧妙,可以省去对称化构造.
点评 本题利用对数均值不等式得到两个不等式, 然后以此进行推导, 简明快捷.
3.已知函数f(x)=lnx-ax2(2-a)x.若函数y=f(x)的图像与x轴交于A,B两点, 线段AB的中点的
横坐标为x0, 证明f’(x0)<0.
4.已知函数f(x)=ex-ax a.若函数y=f(x)的图像与x轴交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点,且x1<x2.
(1)求a的取值范围;