蓝桥杯必备：巴什博弈解题技巧全解析

蓝桥杯必备：巴什博弈解题技巧全解析

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CSDN

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来源

1.

https://blog.csdn.net/tang7mj/article/details/136111550

2.

https://blog.csdn.net/2401_87245677/article/details/145330081

3.

https://blog.csdn.net/qq_74405082/article/details/138728368

4.

https://juejin.cn/post/7347513259132256296

5.

https://www.bilibili.com/read/cv39284485

6.

https://www.cnblogs.com/Macw07/p/18069664

巴什博弈（Bash Game）是蓝桥杯等编程竞赛中常见的算法题型，其规则简单但策略深刻。掌握巴什博弈的解题技巧不仅能提升你的编程技能，还能在比赛中取得优势。本文将详细介绍巴什博弈的核心原理、变体问题以及解题策略。

巴什博弈的核心规则如下：

• 有一堆总数为n的物品
• 两名玩家轮流取物
• 每次至少取1件，至多取m件
• 取走最后一项物品的玩家获胜

其数学模型基于"制胜位置"的概念：

• 当n是m+1的倍数时，先手必败
• 否则，先手有必胜策略

这个结论可以通过归纳法证明：

1. 当n <= m时，先手可以直接取完所有物品获胜
2. 当n = m+1时，无论先手取多少，后手都能在下一轮取完获胜
3. 对于任意的n，先手可以通过取走k个物品（k = n % (m+1)），将剩余物品数量调整为m+1的倍数，从而将对手置于必败位置

捐款比赛

题目描述：两人轮流捐款，目标总额为n元，每人每次捐1~m元，先达到或超过n元者胜。

解题思路：

• 如果n <= m，先手可以直接捐出n元获胜
• 如果n % (m + 1) == 0，后手必胜
• 否则，先手必胜

抓牌游戏

题目描述：共n张牌，双方轮流抓，每次只能抓2的幂次方数量（如1、2、4等），抓完者胜。

解题思路：

• 将问题转化为二进制表示
• 如果n的二进制表示中1的个数为偶数，后手必胜
• 否则，先手必胜

Roy&October之取石子

题目描述：共有n个石子，两人轮流取，每次取p^k个（p为质数，k为自然数），取走最后一个石子者胜。

解题思路：

• 观察到6的倍数是一个关键点
• 当n不是6的倍数时，先手可以取走一些石子使剩余数量为6的倍数，从而获胜
• 当n是6的倍数时，无论先手如何取，后手总能通过调整取石子的数量使剩余数量保持为6的倍数，最终获胜

1. 快速判断当前状态：

   • 计算n % (m + 1)的结果
   • 根据结果判断是N位置（必胜）还是P位置（必败）

2. 制定有效策略：

   • 如果是N位置，计算需要取走的物品数量k = n % (m + 1)
   • 如果是P位置，尽量将对手置于N位置

3. 注意边界条件：

   • 当n <= m时的特殊情况
   • 当m=1时的特殊情况

通过以上分析，我们可以看到巴什博弈虽然规则简单，但其背后蕴含着深刻的数学原理。掌握这些原理和解题技巧，不仅能帮助我们在蓝桥杯等算法竞赛中取得好成绩，还能培养我们的逻辑思维和问题解决能力。

最后，给出一个简单的C++代码示例，用于判断巴什博弈中先手是否能赢：

#include <iostream>
using namespace std;

bool canWin(int n, int m) {
    return n % (m + 1) != 0;
}

int main() {
    int t, n, m;
    cin >> t;
    while (t--) {
        cin >> n >> m;
        cout << (canWin(n, m) ? "First wins" : "Second wins") << endl;
    }
    return 0;
}

这段代码简洁明了地实现了巴什博弈的基本判断逻辑，是解决相关问题的基础工具。