中考几何必考：垂径定理应用技巧大揭秘！

中考几何必考：垂径定理应用技巧大揭秘！

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CSDN

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来源

1.

https://blog.csdn.net/Stockholm_Sun/article/details/77920743

2.

https://github.com/arzyu/rime-wubi98/blob/master/wubi98.dict.yaml

3.

https://www.163.com/dy/article/IVNRG5J60553H33C.html

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https://m.zxxk.com/soft/48469168.html

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http://www.tezz.cn/shuxueketang/yibuyibu.htm

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https://m.qidian.com/ask/qhvnjycdylw

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https://m.zxxk.com/soft/43538109.html

8.

https://m.zxxk.com/soft/44057016.html

9.

https://3tb4weatuybs.blog.fc2.com/blog-entry-228.html

在中考数学中，垂径定理是圆几何部分的重要知识点，也是解题的关键工具之一。掌握垂径定理不仅能帮助我们快速解决与圆相关的题目，还能在证明线段相等、角相等及垂直关系等问题时发挥重要作用。本文将为你详细解析垂径定理的核心内容及其在中考中的具体应用技巧。

垂径定理指出：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。这个定理可以进一步引申出几个重要的推论：

1. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
2. 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
3. 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

在实际应用中，我们常常会用到“知二推三”的原则：在过圆心、垂直于弦、平分弦、平分优弧、平分劣弧这五个条件中，任意两个条件成立，则其他三个条件也必然成立。

1. 构造直角三角形

在解决与垂径定理相关的问题时，一个常用的技巧是构造直角三角形。具体做法是连接圆心到弦的中点，这样就可以形成一个包含半径、弦心距和弦长一半的直角三角形。通过这个直角三角形，我们可以利用勾股定理来求解未知量。

2. 利用勾股定理

勾股定理是解决这类问题的有力工具。一旦我们构造出直角三角形，就可以根据已知条件（如半径、弦长或弦心距）来求解其他未知量。例如，如果已知弦长和弦心距，可以通过勾股定理求出半径；反之亦然。

3. 分类讨论思想

在处理平行弦问题或涉及多个可能位置关系的题目时，需要运用分类讨论的思想。例如，当题目中提到“两条平行弦”时，要考虑它们可能在圆心的同侧或异侧两种情况。

例题1：求半径问题

题目：如图，AB是圆O的弦，OC垂直于AB于点C，若AB=8，OC=3，求圆O的半径。

解题思路：

1. 连接OA，构造直角三角形OAC
2. 根据垂径定理，AC=AB/2=4
3. 在直角三角形OAC中，应用勾股定理：OA²=OC²+AC²
4. 代入已知数值：OA²=3²+4²=9+16=25
5. 得到半径OA=5

例题2：求弦长问题

题目：已知圆O的半径为10，弦AB的弦心距为6，求弦AB的长度。

解题思路：

1. 连接OA，作OC垂直于AB于点C
2. 根据垂径定理，AC=CB
3. 在直角三角形OAC中，应用勾股定理：OA²=OC²+AC²
4. 代入已知数值：10²=6²+AC²
5. 解得AC=8，因此AB=2AC=16

例题3：综合应用题

题目：如图，在圆O中，弦AB和CD相交于点E，且AB⊥CD，OE平分∠AEC，若AE=3，CE=4，求圆O的半径。

解题思路：

1. 根据题意，OE平分∠AEC，且AB⊥CD，可以推断出OE垂直平分AB和CD
2. 设OE与AB、CD的交点分别为F、G
3. 在直角三角形AEF中，EF=AE/2=1.5
4. 在直角三角形CEG中，EG=CE/2=2
5. 连接OA，构造直角三角形OAF
6. 设半径OA=r，则OF=r-1.5
7. 在直角三角形OAF中，应用勾股定理：r²=(r-1.5)²+3²
8. 解得r=3.75

通过以上例题，我们可以看到垂径定理在解决实际问题中的强大作用。掌握这些解题技巧，不仅能帮助我们在中考中轻松应对相关题目，还能培养我们的几何思维能力。在实际解题过程中，要善于将垂径定理与其他几何知识（如勾股定理、圆周角定理等）相结合，灵活运用，才能在考试中游刃有余。