高考数学：三元二次方程组解题秘籍

高考数学：三元二次方程组解题秘籍

引用

网易

等

6

来源

1.

https://c.m.163.com/news/v/VA4U27I97.html

2.

https://zhidao.baidu.com/question/2000212436365877227.html

3.

https://blog.csdn.net/Brave_heart4pzj/article/details/139803735

4.

https://blog.csdn.net/ABcd110111/article/details/139561827

5.

https://www.cnblogs.com/Eufisky/p/18393707

6.

https://www.ping-jia.net/aa/gyryxcasxsrxgxjjrjw.html

在高考数学中，三元二次方程组是一个重要的知识点，也是许多同学感到头疼的难点。掌握其解法不仅能帮助我们在考试中取得好成绩，还能提升我们的数学思维能力。本文将为你详细讲解三元二次方程组的解题技巧，让你轻松应对这类题目。

三元二次方程组是由三个未知数且最高次数为二次的方程组成的方程组。例如：

[
\begin{cases}
x^2 + xy + y^2 = 39 \
y^2 + yz + z^2 = 49 \
z^2 + zx + x^2 = 19
\end{cases}
]

解这类方程组的关键在于灵活运用消元、配方及特殊技巧。下面我们将详细介绍两种主要的解法：消元法和代入法。

消元法是解三元二次方程组最常用的方法之一。其基本思路是通过加减或代入的方式消去一个变量，将三元方程组转化为二元方程组，再进一步转化为一元方程求解。

具体步骤：

1. 观察与变形：分析系数关系，选择合适的消元方式（如代入法或加减法）。
2. 逐步降次：将三元方程化为二元，再化为一元方程求解。
3. 回代求解：求得一个变量后，将其值代入前面的方程中求其他变量的值。

例题解析：

让我们通过一个具体的例子来理解消元法的应用。

例题：解方程组

[
\begin{cases}
x^2 + xy + y^2 = 39 \
y^2 + yz + z^2 = 49 \
z^2 + zx + x^2 = 19
\end{cases}
]

解题步骤：

1. 首先观察三个方程的结构，我们可以尝试两两作差来简化问题。

   [
   \begin{align*}
   ① - ② & : (x - z)(x + y + z) = -10 \
   ② - ③ & : (y - x)(x + y + z) = 30
   \end{align*}
   ]

2. 引入辅助变量 (a = x + y + z)，则上述两个方程可以改写为：

   [
   \begin{align*}
   x - z & = -\frac{10}{a} \
   y - x & = \frac{30}{a}
   \end{align*}
   ]

3. 将上述两个方程相加，得到 (y - z = \frac{20}{a})。

4. 现在我们有了三个关于 (x, y, z) 的线性方程：

   [
   \begin{cases}
   x - z = -\frac{10}{a} \
   y - x = \frac{30}{a} \
   y - z = \frac{20}{a}
   \end{cases}
   ]

5. 解这个线性方程组，得到 (x, y, z) 关于 (a) 的表达式：

   [
   \begin{align*}
   x & = \frac{1}{3}a - \frac{10}{3a} \
   y & = \frac{1}{3}a + \frac{20}{3a} \
   z & = \frac{1}{3}a - \frac{30}{3a}
   \end{align*}
   ]

6. 将 (x, y, z) 的表达式代入原方程组中的任意一个方程，解关于 (a) 的方程，最终求得 (x, y, z) 的具体值。

代入法适用于方程组中某个方程可以表示为某个变量的函数的情况。其基本思路是先解出一个变量用其他变量表示的表达式，然后将其代入其他方程中，消去一个变量，重复这个过程直到得到可以求解的方程。

具体步骤：

1. 从方程组中选择一个容易解的方程，解出一个变量。
2. 将得到的表达式代入其他方程中，消去一个变量。
3. 重复上述过程，直到得到可以求解的方程。
4. 逐步回代求解其他变量。

例题解析：

例题：解方程组

[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 25 \
y^2 + z^2 = 16 \
z^2 + x^2 = 9
\end{cases}
]

解题步骤：

1. 观察方程组，我们可以尝试将每个方程都表示为 (x^2, y^2, z^2) 的形式。

2. 将三个方程相加，得到：

   [
   2(x^2 + y^2 + z^2) = 50
   ]

   即

   [
   x^2 + y^2 + z^2 = 25
   ]

3. 利用这个结果，我们可以分别求出 (x^2, y^2, z^2) 的值：

   [
   \begin{align*}
   x^2 & = 25 - 16 = 9 \
   y^2 & = 25 - 9 = 16 \
   z^2 & = 25 - 25 = 0
   \end{align*}
   ]

4. 最后得到 (x, y, z) 的值：

   [
   \begin{align*}
   x & = \pm 3 \
   y & = \pm 4 \
   z & = 0
   \end{align*}
   ]

让我们通过一道高考真题来检验我们的学习成果。

真题：已知 (a, b, c) 为正整数，且满足以下两个方程：

[
\begin{cases}
b^2 = 2ac \
a + b + c = 68
\end{cases}
]

求 (a, b, c) 的值。

解题思路：

1. 首先注意到 (a, b, c) 为正整数的条件，这暗示我们解的个数有限。
2. 由于 (b^2 = 2ac)，可以推断 (b) 为偶数，设 (b = 2r)。
3. 将 (b = 2r) 代入第二个方程，得到 (a + 2r + c = 68)。
4. 进一步分析，发现 (a) 和 (c) 也必须是偶数，设 (a = 2p, c = 2q)。
5. 代入后得到 (p + q + r = 34) 且 (r^2 = 2pq)。
6. 继续分析，发现 (r, p, q) 也为偶数，设 (r = 2x, p = 2y, q = 2z)。
7. 最终得到 (x + y + z = 17) 且 (x^2 = 2yz)。
8. 通过试根法，找到符合条件的整数解 (x = 12, y = 4, z = 1)。
9. 回代求得 (b = 2r = 24, a = 2p = 8, c = 2q = 36)。

因此，符合条件的解为 ((8, 24, 36)) 和 ((36, 24, 8))。

通过以上讲解和实例，相信你已经掌握了三元二次方程组的解法。关键在于灵活运用消元法和代入法，根据方程的特点选择合适的方法逐步求解。多做练习，你一定会在高考中取得好成绩！