高考数学必备：点到直线距离公式详解与应用

高考数学必备：点到直线距离公式详解与应用

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1.

https://blog.csdn.net/Brave_heart4pzj/article/details/144169887

2.

https://blog.csdn.net/Brave_heart4pzj/article/details/144170898

3.

https://blog.csdn.net/YiYeZhiNian/article/details/137016850

4.

https://blog.csdn.net/wangnaisheng/article/details/138110803

5.

https://blog.csdn.net/qq_26123545/article/details/137863939

6.

http://www.lubanyouke.com/41716.html

7.

http://www.lubanyouke.com/19677.html

在高考数学中，点到直线的距离公式是一个重要考点。本文将为你详细讲解这一公式的推导过程和应用方法，帮助你快速掌握这一知识点。

对于平面直角坐标系中的一点 (P(x_0, y_0)) 和一条直线 (Ax + By + C = 0)，点到直线的距离 (d) 可用以下公式计算：

[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} ]

1. 面积法

假设直线 (Ax + By + C = 0) 与坐标轴交于点 (A) 和 (B)，点 (P(x_0, y_0)) 到直线的距离为 (d)。构造三角形 (PAB)，利用面积公式推导：

1. 求出点 (A) 和 (B) 的坐标
2. 计算线段 (AB) 的长度
3. 利用三角形面积公式 (S = \frac{1}{2} \times AB \times d) 和 (S = \frac{1}{2} \times |x_0y_1 - x_1y_0|) 建立方程
4. 解方程得到 (d) 的表达式

2. 三角函数法

利用直线的斜率和三角函数关系求解：

1. 求出直线的斜率 (k = -\frac{A}{B})
2. 计算直线与 (x) 轴的夹角 (\theta = \arctan(k))
3. 利用三角函数关系 (d = |y_0 - kx_0 - \frac{C}{B}| \cdot \cos(\theta)) 推导公式

3. 向量法

使用向量投影和垂直性质进行推导：

1. 构造向量 (\vec{AP}) 和直线的方向向量 (\vec{v})
2. 利用向量点乘公式 (\vec{AP} \cdot \vec{v} = |\vec{AP}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\theta))
3. 解出 (d = |\vec{AP}| \cdot \sin(\theta))

例题：已知点 (P(2, 3)) 和直线 (3x - 4y + 5 = 0)，求点到直线的距离。

解题步骤：

1. 确定 (A = 3)，(B = -4)，(C = 5)，(x_0 = 2)，(y_0 = 3)
2. 代入公式：(d = \frac{|3 \cdot 2 + (-4) \cdot 3 + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}})
3. 计算结果：(d = \frac{|6 - 12 + 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{1}{5})

1. 直线方程必须是一般式 (Ax + By + C = 0)
2. 分母中的根号下是 (A^2 + B^2)，不要漏掉平方
3. 分子中的绝对值符号不要忘记

掌握这些要点后，你就可以在高考中轻松应对点到直线距离的相关题目了。通过理解公式的推导过程，你不仅能快速解题，还能在遇到变式题目时灵活应对。祝你高考数学取得好成绩！