《编程之美》教你领略分数转小数的魅力

《编程之美》教你领略分数转小数的魅力

引用

CSDN

等

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来源

1.

https://m.blog.csdn.net/2401_88154394/article/details/143580786

2.

https://m.blog.csdn.net/nirendao/article/details/136776869

3.

https://m.blog.csdn.net/u011438605/article/details/72770097?utm_source=blogxgwz1

4.

https://m.sohu.com/a/834805410_122077424/?pvid=000115_3w_a

5.

https://read.douban.com/ebook/1523295/?dcc=474698&dcm=works-guess

6.

https://leetcode.cn/problems/fraction-to-recurring-decimal/solutions/

分数转小数是数学中的基本运算，但在编程中却是一个充满挑战的问题。《编程之美》一书中，就详细探讨了如何通过编程实现分数到小数的转换，展示了这一过程中的数学之美。

基本方法：直接除法与长除法

最直观的方法是直接将分数的分子除以分母，得到小数结果。例如：

• ( \frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0.75 )
• ( 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2} = 5 \div 2 = 2.5 )

但对于一些分数，如 ( \frac{1}{3} ) 或 ( \frac{22}{7} )，直接除法会得到无限循环小数。这时就需要使用长除法来处理。

编程实现的关键技术

在编程中实现分数转小数，需要解决以下几个关键问题：

1. 循环小数的处理

对于无限循环小数，如 ( \frac{1}{3} = 0.333... )，我们需要能够识别循环节并正确表示。这通常通过模拟竖式除法的过程来实现。

2. 使用哈希表识别循环节

在长除法过程中，当余数重复出现时，就标志着循环节的开始。因此，我们可以使用哈希表（或字典）来记录每个余数出现的位置。一旦发现重复的余数，就可以确定循环节的起始位置。

3. 正负号和整数溢出的处理

由于分子和分母都可能是负数，我们需要在开始计算前判断结果的正负。此外，在计算过程中，需要将分子和分母转换为64位整数，以防止计算过程中的溢出。

具体实现步骤

以Java语言为例，以下是实现分数转小数的核心代码：

import java.util.HashMap;
import java.util.Map;

public class FractionToDecimal {
    public String fractionToDecimal(int numerator, int denominator) {
        long a = numerator, b = denominator;
        boolean positive = (a >= 0 && b > 0) || (a <= 0 && b < 0);
        if (a < 0) a = -a;
        if (b < 0) b = -b;
        long c = a / b;
        long r = a - b * c;
        if (r == 0) {
            return positive ? Long.toString(c) : "-" + c;
        }
        int index = 0;
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        if (!positive) sb.append("-");
        sb.append(Long.toString(c)).append(".");
        Map<Long, Integer> remainderMap = new HashMap<>();
        remainderMap.put(r, index);
        while (true) {
            a = r * 10;
            c = a / b;
            r = a - b * c;
            sb.append(c);
            index++;
            if (r == 0 || remainderMap.containsKey(r)) break;
            remainderMap.put(r, index);
        }
        if (r != 0) {
            int firstLoopRemainderIndex = remainderMap.get(r);
            sb.insert(firstLoopRemainderIndex + 2, "(").append(")");
        }
        return sb.toString();
    }
}

实际应用案例

假设我们需要将分数 ( \frac{4}{333} ) 转换为小数：

1. 首先判断符号：分子和分母都是正数，结果为正
2. 计算整数部分：( 4 \div 333 = 0 )
3. 开始长除法：
   • 第一次：( 40 \div 333 = 0 ) 余 40
   • 第二次：( 400 \div 333 = 1 ) 余 67
   • 第三次：( 670 \div 333 = 2 ) 余 4
   • 发现余数4重复，循环节开始

最终结果为：( 0.(012) )

总结

通过编程实现分数转小数，不仅需要掌握基本的数学原理，更需要巧妙地运用数据结构（如哈希表）来解决实际问题。这个过程充分体现了编程之美：将复杂的数学问题转化为简洁的代码，既考验逻辑思维，又需要对细节的精准把控。

无论是对编程感兴趣还是想深入了解数学知识的朋友，都能从这个过程中学到不少实用的知识点。