数值分析：二分法求解多项式方程根的近似值
数值分析：二分法求解多项式方程根的近似值
二分法是一种常用的数值分析方法，用于求解多项式方程根的近似值。本文将详细介绍二分法的基本原理、求解精度，并通过具体例题帮助读者理解这一方法的应用。
二分法求解根的近似值
前提
给定我们一个有根区间[ a , b ]，注意在求解非线性方程的数值解法这一章，我们都将注意力放在，我们已知了一个有根区间(且一般这个有根区间只有一个解)，然后求解这个根的近似值。我们不需要做的工作是逐步搜索去探索根可能在哪些区间，而是我们已知一个有根区间。
基本原理
考察有根区间[a,b],取中点x 0 = a + b 2 x_0=\frac{a+b}{2}x0 =2a+b ,将其分为两半，假设中点x 0 x_0x0 不是f ( x ) f(x)f(x)的零点，然后进行根的搜索。
如果f ( x 0 ) f(x_0)f(x0 )与f ( a ) f(a)f(a)是同号，则说明根在x 0 x_0x0 的右侧，令a 1 = x 0 , b 1 = b a_1=x_0,b_1=ba1 =x0 ,b1 =b。
如果f ( x 0 ) f(x_0)f(x0 )与f ( b ) f(b)f(b)是同号，则说明在x 0 x_0x0 的左侧，令a 1 = a , b 1 = x 0 a_1=a,b_1=x_0a1 =a,b1 =x0 。
新的有根区间[ a 1 , b 1 ] [a_1,b_1][a1 ,b1 ]是原来区间[ a , b ] [a,b][a,b]的一半。
. . . . . . ............
. . . . . . ............
然后我们不断通过对区间的压缩，对于第k次压缩，[ a k , b k ] [a_k,b_k][ak ,bk ]的长度，
l e n g t h = b k − a k = b − a 2 k length=b_k-a_k=\frac{b-a}{2^k}length=bk −ak =2kb−a
当k kk趋近于无穷的时候，区间[ a k , b k ] [a_k,b_k][ak ,bk ]趋近于零，最终必收缩于一点，该点就是所求的根的近似值。
二分法的求解精度
每次二分后，取有根区间[ a k , b k ] [a_k,b_k][ak ,bk ]的中点，
x k = a k + b k 2 x_k=\frac{a_k+b_k}{2}xk =2ak +bk
由于根一定在这个区间[ a k , b k ] [a_k,b_k][ak ,bk ]内，所有会有根的近似值序列，
x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x k , x k + 1 . . . x_1,x_2,x_3,...,x_k,x_{k+1}...x1 ,x2 ,x3 ,...,xk ,xk+1 ...列出来这个序列，是因为其中的每个值都有可能是根或者说是根的近似值(我们想要的),该序列必须以根x xx为极限。
假设根为x xx,那么一定有
∣ x − x k ∣ ≤ b k − a k 2 = b − a 2 k + 1 | x-x_k|≤\frac{b_k-a_k}{2}=\frac{b-a}{2^{k+1}}∣x−xk ∣≤2bk −ak =2k+1b−a
我们定义二分法的精度
∣ x − x k ∣ ＜ ε |x-x_k|＜ε∣x−xk ∣＜ε
这里，ε为预定的精度。
例题
对于求解的部分过程如下所示，
对于接下来每步的计算，我们每计算一次，就验证一下是否达到精度要求，若是达到了精度要求，那么可以停止缩小区间。
如下图所示。