是坐标转换，也是旋转——矩阵变换

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作者:

@小白创作中心

是坐标转换，也是旋转——矩阵变换

引用

来源

https://www.cnblogs.com/WoBok/p/18399163

矩阵变换是3D图形学和游戏开发中的核心概念之一，它不仅能够实现坐标系之间的转换，还能够完成向量的旋转。本文将从基向量的表示开始，逐步解释矩阵变换的基本原理，并通过具体的代码示例展示其在实际应用中的实现方式。

坐标转换

一个向量可以被表示为(v=xi+yj+zk)，其中(i)，(j)，(k)为坐标系的基向量：
(i= \begin{bmatrix} 1\ 0\ 0 \end{bmatrix})，(j= \begin{bmatrix} 0\ 1\ 0 \end{bmatrix})，(k= \begin{bmatrix} 0\ 0\ 1 \end{bmatrix})

基向量可写成矩阵的方式：
(\begin{bmatrix} i_x&i_y&i_z\ j_x&j_y&j_z\ k_x&k_y&k_z \end{bmatrix})

一个坐标系可以使用任意线性无关的基向量构成，如(l)，(m)，(n)

使用由(l)，(m)，(n)构成的矩阵乘以一个任意向量(\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix})：
(\begin{bmatrix} a&b&c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} l_x&l_y&l_z\ m_x&m_y&m_z\ n_x&n_y&n_z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} al_x+bm_x+cn_x&al_y+bm_y+cn_y&al_z+bm_z+cn_z \end{bmatrix})

即
(\begin{bmatrix} al_x+bm_x+cn_x\ al_y+bm_y+cn_y\ al_z+bm_z+cn_z \end{bmatrix}=a \begin{bmatrix} l_x\ l_y\ l_z \end{bmatrix}+b \begin{bmatrix} m_x\ m_y\ m_z \end{bmatrix}+c \begin{bmatrix} n_x\ n_y\ n_z \end{bmatrix}= al+bm+cn)

最终得到了由基向量表示的结果，由此可见

如果把矩阵的行解释为坐标系的基向量，那么乘以该矩阵就相当于执行了一次坐标转换，若有(aM=b)，我们就可以说，(M)将(a)转换到(b)。

从另一个角度看，x，y，z分量分别代表了向量在每个基向量方向上分别“走了多少个单位”，变换的只是基向量的方向，而在每个方向上走多远却没有改变。

旋转

使用单位且正交的基向量(x')，(y')，(z')构成新的坐标系，使用基向量构成的矩阵乘以向量(v)

(\begin{bmatrix} v_x&v_y&v_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_x&x_y&x_z\ y_x&y_y&y_z\ z_x&z_y&z_z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} v'_x&v'_y&v'_z \end{bmatrix})

可以发现，在矩阵变换向量的过程中，也完成了旋转。

应用

首先确定一个(forward)正方向，利用世界空间的(up)方向((0,1,0))通过叉积运算得到与(forward)正交的(right)方向，然后再利用计算得到的(right)方向通过叉积运算得到正确的(up)方向。

float3 forward = direction;
half isParallel = step(0.999, forward.y);
float3 up = isParallel * float3(0, 0, 1) + (1 - isParallel) * float3(0, 1, 0);
float3 right = normalize(cross(up, forward));
up = normalize(cross(forward, right));

在(up)的计算中，为了防止(forward)方向与世界空间的(up)方向平行得到错误的计算，加入判断选择需要使用的向量。

例如可以使用计算得到的三个基向量变换模型空间的顶点位置，以此达到旋转模型的目的：

float3 newPos = positionOS.x * right + positionOS.y * up + positionOS.z * forward;

或者构成矩阵用以旋转向量：

float3x3 rotationMatrix = float3x3(right, up, forward);

在实际使用过程中注意左乘和右乘的区别，即行向量与列向量的使用区别：

向量以行表示，则矩阵以行构建，向量以列表示，则矩阵以列构建。

(\begin{bmatrix} a&b&c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} l_x&l_y&l_z\ m_x&m_y&m_z\ n_x&n_y&n_z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} al_x+bm_x+cn_x&al_y+bm_y+cn_y&al_z+bm_z+cn_z \end{bmatrix})

(\begin{bmatrix} l_x&m_x&n_x\ l_y&m_y&n_y\ l_z&m_z&n_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\ b\ c \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} al_x+bm_x+cn_x\ al_y+bm_y+cn_y\ al_z+bm_z+cn_z \end{bmatrix})

在Unity Shader中， float3x3(right, up, forward) 表示将向量以行向量的方式组成矩阵，故变换向量时使用 mul(vector, rotationMatrix) 方式计算，若 rotationMatrix 以列向量方式存储，故变换向量时使用 mul(rotationMatrix, vector) 方式计算。