为什么说0.9999……=1？

为什么说0.9999……=1？

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腾讯

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0.99999……=1，这个等式看起来似乎违背了我们的直觉。明明0.99999……似乎永远都达不到1，为什么说它们是相等的呢？让我们一起来探讨这个问题。

简单的代数证明

首先，我们可以通过一个简单的代数方法来证明这个等式：

令 (n = 0.99999……)

接下来，将等式两边同时乘以10，得到：

[10n = 9.99999……]

这显然是成立的。然后，我们从新的等式中减去原来的等式：

[10n - n = 9.99999…… - 0.99999……]

简化后得到：

[9n = 9]

最后，两边同时除以9，得到：

[n = 1]

因此，我们证明了 (0.99999…… = 1)。

这是一个中学生都能理解的证明，但你可能还是觉得有些奇怪。为了更深入地理解这个问题，我们需要借助极限和无穷的概念。

极限与无穷

(0.99999……) 是一个无限循环小数，它无限趋近于1。在数轴上，0和1之间有无数个数，但你能在 (0.99999……) 和1之间找到哪怕一个数吗？答案是没有。

如果说 (0.99999……) 不等于1，那么它们之间相差的是什么呢？是 (0.00000000……) 无限个0？但这不是一个数，它只是无穷小的概念。

0后面永远不会出现1，因为 (0.99999……) 的9是在无限循环的，无限趋近于1。因此，从数学的角度来看，(0.99999……) 和1是等价的，且必须等于1。否则，在数轴上它们之间应该存在空隙，但实际上这个空隙并不存在。

无穷的本质

很多人对无穷的理解停留在“没有尽头”或“非常大的数”。但实际上，无穷不是静态的数，而是动态的趋势。无穷大表示无限增加的趋势，无限接近表示一直在接近。

在数学中，无穷还分为不同的等级。例如，函数 (y = x^2) 的变化趋势比 (y = x) 更快，因此 (y = x^2) 可以被认为是更高阶的无穷大。

(0.9999……) 无限接近于1，没有人比它更接近，它是接近于1的最高阶无穷，因此它就是1。在高等数学中，当我们说一个数无限趋近于1时，其答案就是1。

这就是为什么数学上可以严格证明 (0.99999…… = 1) 的原因。这个结论虽然反直觉，但却是数学逻辑的必然结果。

本文原文来自腾讯新闻