算法设计与分析：从基础到高级的系统讲解

算法设计与分析：从基础到高级的系统讲解

引用

CSDN

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https://blog.csdn.net/qq_74755889/article/details/139535317

算法设计与分析是计算机科学的核心内容之一，它涵盖了从基础概念到高级算法的广泛知识体系。本文将带你系统地了解算法设计的基本原理和主要方法，包括递归与分治策略、动态规划、贪心算法、回溯法、分支限界法等重要主题。通过深入浅出的讲解和具体示例，帮助读者掌握算法设计的核心思想和关键技巧。

第一章：算法概述

数据结构与算法的关系

• 数据结构是对数据的描述
• 算法是对运算操作的描述
• 算法的定义：解决问题的一种方法或过程，具有以下性质：
  1. 输入：由外部提供的量作为算法的输入
  2. 输出：算法产生至少一个量作为输出
  3. 确定性：每条指令清晰无歧义
  4. 有限性：指令执行次数和时间有限

程序与算法的区别

• 程序是算法用某种程序设计语言的具体实现
• 程序可以不满足算法的有限性性质
• 例如操作系统是一个无限循环程序，因此不是一个算法

结构化程序设计

• 面向对象与面向过程不应对立
• 面向对象程序设计中仍需用到面向过程的知识
• 结构化程序设计的基本要点：
  1. 自顶向下：对问题全局理解，分解为子问题
  2. 逐步求精：程序设计是一个渐进过程
  3. 模块化：将大程序分为多个小模块

算法复杂度分析

• 算法复杂性：运行算法所需计算机资源
• 时间复杂度：估算算法执行时间
• 空间复杂度：估算算法所需存储空间
• 空间复杂度主要考虑固定空间需求和可变空间需求

第二章：NP理论问题

P问题与NP问题

• P问题：可以通过多项式时间算法解决的问题
• NP问题：提出的解答可以用多项式算法验证的问题
• NPC问题：NP完全问题，既是NP问题，又能将其他NP问题归约成它

典型NPC问题举例

1. 布尔可满足性问题（SAT）
2. 背包问题（KP）
3. 旅行商问题（TSP）
4. 子集和问题（Subset Sum）
5. 图着色问题（Graph Coloring）

NPC问题求解方法

1. 暴力求解
2. 近似算法
3. 启发式算法（如遗传算法、模拟退火算法）

第三章：分治与递归

分治法

• 将大问题分解为若干规模较小的相同问题
• 分治法的四个特征：
  1. 问题规模缩小到一定程度可容易解决
  2. 问题具有最优子结构性质
  3. 子问题解可合并为原问题解
  4. 子问题是相互独立的

递归

• 函数在函数体内调用自身
• 必须有明确的递归结束条件
• 递归优缺点：
• 优点：结构清晰，可读性强
• 缺点：运行效率较低

应用实例

• MapReduce
• 大整数乘法
• Strassen矩阵乘法
• 棋盘覆盖
• 最接近点对问题
• 投资分配问题
• 两点间最短路径问题

第四章：动态规划

特性

• 多阶段决策问题
• 最优性原理：最优策略的子策略也是最优的
• 无后效性：当前状态只受过去历史的影响
• 子问题的重叠性：动态规划通过存储子问题解来避免重复计算

动态规划三要素

1. 问题的阶段
2. 每个阶段的状态
3. 递推关系

应用举例

1. 矩阵连乘问题：确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。
2. 01背包问题：假设现有容量10kg的背包，另外有3个物品，分别为a1，a2，a3。物品a1重量为3kg，价值为4；物品a2重量为4kg，价值为5；物品a3重量为5kg，价值为6。将哪些物品放入背包可使得背包中的总价值最大？

第五章：贪心算法

贪心算法基本要素

• 贪心选择性质：整体最优解可通过一系列局部最优选择达到
• 最优子结构性质：问题的最优解包含其子问题的最优解

贪心与动态规划的区别

• 共同点：都需要分解为子问题求解，都需要最优子结构
• 不同点：
  1. 动态规划依赖于子问题的解做出选择，而贪心算法仅做局部最优选择
  2. 动态规划自底向上求解，贪心算法自顶向下求解

应用举例

1. 多级调度问题
2. 迪杰斯特拉算法

第六章：回溯法

基本概念

• 一种选优搜索法，又称试探法
• 按选优条件向前搜索，走不通时退回重新选择
• 解空间：满足显式约束条件的所有多元组

应用举例

1. N皇后问题
2. 0-1背包问题
3. 圆排列问题
4. 连续邮资问题
5. 装载问题
6. 符号三角形问题
7. 图的m着色问题
8. 批处理作业调度
9. 旅行售货员问题

第七章：分支限界法

算法框架

1. 队列式（FIFO）分支限界法
2. 优先队列式（最大、小堆）分支限界法
3. 上下界法

应用范例

1. 单源最短路径问题
2. 装载问题
3. 布线问题
4. 01背包问题
5. 最大团问题
6. 旅行商问题
7. 电路板排列问题
8. 批处理作业调度问题

分支限界法与回溯法的区别

1. 求解目标不同：回溯法找所有解，分支限界法找最优解
2. 搜索方式不同：回溯法深度优先，分支限界法广度优先或最小耗费优先
3. 回溯法是盲目搜索，分支限界法有目标函数指导