R语言ARMA-GARCH模型金融产品价格实证分析黄金价格时间序列

R语言ARMA-GARCH模型金融产品价格实证分析黄金价格时间序列

研究黄金价格的动态演变过程至关重要。本文以黄金交易市场下午定盘价格为基础，建立了黄金价格的ARMA-GARCH模型，并进行了实证分析。该模型能够准确地动态刻画黄金价格数据的生成过程，帮助黄金产品投资者和生产者做出更加灵活、科学的决策。

ARMA-GARCH模型

在一般的计量回归模型中，一个重要的假设条件是回归模型中残差的同方差性。它保证了回归系数的无偏性、有效性与一致性；然而，当回归残差的方差不能够保证同方差，即产生异方差时，回归估计系数的有效性与一致性则无法保证，从而导致回归系数估计的偏差。在实际的金融时间序列中，数据大都具有“尖峰厚尾”、波动集聚性与爆发性等特征。根据金融时间序列的这些特性，为了应对这种情况，美国经济学家Robert F. Engle于1982年首次提出了ARCH模型；它具有良好的特性，即持续的方差和处理厚尾的能力，能较好地描述金融序列的波动特征。

ARMA模型

一般来说，一个变量的现在取值，不仅受其本身过去值的影响，而且也受现在和过去各种随机因素冲击的影响。因此，可建立其数据生成模型为：

$$
y_t = a_0 + a_1 y_{t-1} + a_2 y_{t-2} + \ldots + a_p y_{t-p} + u_t + \beta_1 u_{t-1} + \ldots + \beta_q u_{t-q}
$$

式中：$p$和$q$为模型的自回归阶数和移动平均阶数；$a_i$和$\beta_i$为不为零的待定系数；$u_t$为独立的误差项；$y_t$为平稳、正态、零均值的时间序列。如果该模型的特征根都在单位圆外，则该模型就称为ARMA($p,q$)模型。

GARCH(p,q)模型

若随机变量$y_t$可以表示为如下形式：

$$
y_t = a_0 + a_1 y_{t-1} + a_2 y_{t-2} + \ldots + a_p y_{t-p} + u_t
$$

$$
\sigma^2_t = \phi_0 + \phi_1 u^2_{t-1} + \phi_2 u^2_{t-2} + \ldots + \phi_q u^2_{t-q}
$$

式中：$\sigma^2_t$为条件方差；$\phi_i$为待定系数；其它参数同上。

称$u_t$服从$q$阶的ARCH过程，记作$u_t \sim ARCH(q)$。其中，(2)式称作均值方程，(3)式称作ARCH方程。ARCH(q)模型是关于$\sigma^2_t$的分布滞后模型。为避免$u^2_t$的滞后项过多，可采用加入$\sigma^2_t$滞后项的方法。对于(3)式，可给出如下形式：

$$
\sigma^2_t = \phi_0 + \phi_1 u^2_{t-1} + \lambda_1 \sigma^2_{t-1}
$$

式中：$\lambda$为待定系数。

该模型称为广义自回归条件异方差模型，用GARCH(1,1)表示。其中，$u_{t-1}$称为ARCH项；$\sigma_{t-1}$称为GARCH项。

(4)式应满足的条件为：$\phi_0 > 0$，$\phi_1 \geq 0$，$\lambda_1 \geq 0$。

ARMA-GARCH模型建立与实证分析

建立ARMA-GARCH模型步骤

建立黄金价格ARMA-GARCH模型通常包括5个步骤，即序列平稳性验证、模型识别及参数估计、异方差效应检验、建立ARMA-GARCH模型及参数估计、模型诊断与实证分析。

数据采集

我们所选取的样本数据为XX定盘价格(用P表示，单位为美元/盎司)，共计851个数据，利用计量分析软件R完成。

平稳性检验及数据处理

通过黄金价格时间序列(见图2)可以看出，历年的黄金价格有异常值并且结构发生了突变；相关统计特征显示黄金价格序列存在右偏和尖峰现象(相对于标准正态分布)，呈现“尖峰厚尾”特征。同时JB检验也说明黄金价格序列不服从正态分布。再者，从黄金价格自相关及偏相关(见图3)中，可初步判断黄金价格为结构发生突变的非平稳时间序列。

为了检验数据是否适合建立时间序列模型，现对数据做平稳性检验即单位根检验，检验模型方法为最小二乘估计。对黄金价格P进行单位根检验检验结果见如下。其检验结果均清楚显示黄金价格序列存在单位根，为非平稳时间序列。

因此，对黄金价格时间序列取自然对数，再对其进行单位根检验。从检验结果可以看出，由于p值小于0.05，因此拒绝原假设，认为黄金价格时间序列为平稳序列。只有带漂移项的检验式才能通过t检验。

经检验，ADF=-3.1413，小于不同检验方法的临界值，所以自然对数的黄金价格序列是一个带有漂移项的平稳序列。

模型识别及参数估计

ARMA模型的定阶从两方面考虑：一是考虑模型的数据特征，即自相关函数和偏自相关函数；二是考虑模型定阶准则AIC和SIC。

根据ln(P)的自相关图，可初步选定ARMA(1,0)、ARMA(1,1)、ARMA(2,2)、ARMA(2,1)等8个模型。

通过综合比较各模型的判定指标(见表2)，可以判断模型ARMA(1,1)的AIC数值和SIC数值最小，初步选定该模型。其参数估计采用非线性最小二乘法，利用R软件完成。ARMA(1,1)模型对应的数学表达式为

$$
ln(P_t) = 6.168 + 0.985 ln(P_{t-1}) + u_t + 0.334 u_{t-1}
$$

从结果可以看出，各参数均通过t检验，方程特征根的倒数均在单位圆内，即特征根均在单位圆外，满足平稳性要求。

ARMA (p,q) 模型的相关判定指标

ARCH检验

在分析金融数据中，条件异方差的忽略可能导致参数估计失去渐进有效性和ARMA模型的过度参数化，还可能引起传统检验的过度拒绝。可以发现波动的“成群”现象：波动在一段时期内非常小，在其他一段时期内非常大。这说明ARMA(1,1)模型的误差项可能具有条件异方差性。

借助R软件，可得出自回归条件异方差的LM检验式为：

$$
u^2_t = 0.0018 + 0.2566 u^2_{t-1}
$$

t检验(5.319)(5.652)

LM的ARMA(1,1)模型残差检验的统计量LM=8.3379>χ0.05(1)=3.84。其中，T为样本容量；R2为判定系数。

ARMA-GARCH模型建立

检验结果证明，ARMA(1,1)模型的残差存在自回归条件异方差，应该在ARMA(1,1)均值方程基础上建立ARCH模型。为确定ARCH阶数需多次尝试，最终确定ARCH模型为2阶。因为滞后期很长，在此考虑加入GARCH模型，进一步采用GARCH(2,2)模型。

这些充分说明均值方程在配有GARCH(1,1)模型后，已消除了ARMA(1,1)模型残差序列中的自回归条件异方差成分。该模型能够更好的拟合数据。

实证分析

结合预测理论及相应软件工具，利用ARMA(1,1)-GARCH(2,2)模型对黄金价格进行验证。

结语

(1)本文通过对黄金价格ARMA(1,0)模型的残差序列进行ARCH-LM检验，发现了黄金价格存在明显的自回归条件异方差效应。

(2)利用时间序列相关理论，建立了ARMA(1,1)-GARCH(2,2)模型。通过实证分析可知，该模型可准确地动态刻画黄金价格数据的生成过程，平均误差很小。

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