二次函数的根与判别式
二次函数的根与判别式
二次函数是高中数学的重要内容，其根的性质和判别式的关系是理解二次函数的关键。本文系统地介绍了二次函数的基本概念、判别式的引入及意义、二次方程的求解方法、判别式在不同情况下的根的分析以及总结与拓展等内容。通过本文的学习，读者可以全面掌握二次函数的相关知识。
二次函数基本概念回顾
一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的函数称为二次函数。
二次函数定义：二次函数的图像是一条抛物线，具有对称性。当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。
二次函数性质：通过配方，二次函数可以写成标准形式$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$为顶点坐标。对于一般形式的二次函数，其顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^2}{4a})$。
标准形式与顶点坐标：顶点坐标公式
标准形式图像特点：二次函数的图像是一条抛物线，具有对称轴。根据$a$的正负，抛物线开口方向不同。
开口方向：当$a>0$时，抛物线开口向上，表示函数在定义域内存在最小值；当$a<0$时，抛物线开口向下，表示函数在定义域内存在最大值。
图像特点与开口方向
判别式引入及意义
判别式的具体形式为：$\Delta=b^2-4ac$。
判别式（Discriminant）是二次函数$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$）的一个重要概念，用符号$\Delta$表示。
判别式在解决实际问题中应用：判别式在解决实际问题中，如抛物线与x轴交点、物体运动轨迹等，具有广泛的应用。通过判别式的正负，可以判断二次方程的根的性质（实数根、虚数根或无根），进而解决实际问题。
当$\Delta>0$时，二次方程有两个不相等的实数根。
当$\Delta=0$时，二次方程有两个相等的实数根，即一个重根。
当$\Delta<0$时，二次方程无实数根，即根为虚数。
判别式与二次方程实数根关系
二次方程求解方法探讨
确定二次方程系数计算判别式应用求根公式验证解
公式法求解二次方程步骤：
- 识别方程中的$a$、$b$、$c$，确保它们是实数且$a\neq0$。
- 计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，判断其正负及是否为零。
- 根据判别式的值，使用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$求解方程。
- 将求得的解代入原方程进行验证，确保解的正确性。
将方程化为$ax^{2}+bx=-c$的形式，然后通过配方将其转化为完全平方的形式。
开方与求解注意事项：
对配方后的方程进行开方运算，得到方程的解。在配方过程中，需要注意符号的变化以及配方的正确性。
配方法求解二次方程技巧
因式分解法适用范围及实例
适用范围：适用于部分二次方程，特别是那些可以容易地分解为两个一次因式的方程。
因式分解技巧：通过观察和尝试，寻找两个数，使得它们的乘积等于$ac$且它们的和等于$b$，从而将二次方程分解为两个一次因式的乘积。
实例演示：以具体二次方程为例，展示因式分解法的求解过程，并给出详细步骤和解释。
判别式大于零时根的情况分析
判别式$\Delta=b^{2}-4ac>0$时，二次方程有两个不相等的实数根。这是因为判别式反映了方程根的情况，当判别式大于零时，说明方程有两个不同的解，即两个不相等的实数根。
要点一：二次函数图像与x轴交点
从二次函数的图像来看，当判别式大于零时，二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，这两个交点的横坐标就是方程的两个不相等的实数根。
两个不相等实数根存在条件
利用判别式判断根的性质
通过判别式的符号可以初步判断根的符号。当判别式大于零时，如果$a$和$c$的符号相同，则方程有两个异号的实数根；如果$a$和$c$的符号不同，则方程有两个同号的实数根。但需要注意的是，这只是一种初步判断，具体还需要结合方程的系数和常数项来进一步确定。
根的符号判断
通过判别式的大小可以进一步判断根的分布情况。当判别式大于零且较大时，说明方程的两个实数根分布比较分散；当判别式大于零但较小时，说明方程的两个实数根分布比较集中。
根的分布判断
例题1：已知二次方程$ax^{2}+bx+c=0$的判别式$\Delta=b^{2}-4ac>0$，且$a$和$c$异号，试分析该方程的根的情况。
解答：由于判别式大于零，所以方程有两个不相等的实数根。又因为$a$和$c$异号，所以方程的两个实数根必然异号。因此，该方程有两个不相等且异号的实数根。
例题2：已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图像与x轴有两个交点A和B，且A点在B点的左侧，试分析该二次函数的判别式及根的情况。
解答：由于二次函数的图像与x轴有两个交点A和B，所以判别式必然大于零。又因为A点在B点的左侧，所以方程的两个实数根中，较大的根对应的是B点的横坐标，较小的根对应的是A点的横坐标。因此，该二次函数的判别式大于零，且方程有两个不相等且同号的实数根。
典型例题分析与解答
判别式等于零时根的情况分析
当二次函数的判别式$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。
判别式$\Delta=0$确保二次函数是一个真正的二次函数，二次项系数$a\neq0$。
两个相等的实数根可以表示为$x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}$。
根的表示方法
两个相等实数根存在条件
重复根意味着二次函数的图像关于直线$x=-\frac{b}{2a}$对称，且顶点位于该直线上。
对称轴与顶点
在重复根处，二次函数取得极值（最大值或最小值），且函数值为零。
函数值与零点
二次函数的图像与x轴相切于重复根，即在该点处只有一个交点。
与x轴交点
重复根在二次函数中意义
解答：由$y=x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}$，可知判别式$\Delta=0$，因此方程有两个相等的实数根$x_{1}=x_{2}=-1$。
例题1：已知二次函数$y=x^{2}+2x+1$，求该函数的根。
例题2：判断二次函数$y=2x^{2}-4x+2$的根的情况，并求出根的值。
典型例题分析与解答
解答：计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\times2\times2=0$，因此方程有两个相等的实数根。由求根公式得$x_{1}=x_{2}=-\frac{-4}{(2\times2)}=1$。
已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图像与x轴相切，且顶点坐标为$(-1,0)$，求$a$、$b$、$c$的值。
由顶点坐标$(-1,0)$可知，对称轴为$x=-1$，且顶点处函数值为零。因此，可设二次函数为$y=a(x+1)^{2}$。又因为图像与x轴相切，所以判别式$\Delta=0$。将顶点坐标代入得$a(-1+1)^{2}=0$，解得$a$为任意非零实数。再由判别式$\Delta=b^{2}-4ac=0$，得$b^{2}-4a(0)=0$，解得$b=0$。最后由顶点坐标$(-1,0)$代入$y=a(x+1)^{2}$得$c=0$。因此，$a$为任意非零实数，$b=0$，$c=0$。
例题3：解答
典型例题分析与解答
判别式小于零时无实数根情况探讨
无实数根存在条件
对于二次函数$ax^2+bx+c=0$，当判别式$\Delta=b^2-4ac<0$时，方程无实数根。
证明过程
利用配方法或公式法求解二次方程，当判别式小于零时，方程的解为复数，即无实数解。
无实数根存在条件及证明过程
当判别式小于零时，二次方程的解为复数根，形式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{4ac-b^2}i}{2a}$，其中$i$为虚数单位。
复数根概念
复数根总是成对出现，且互为共轭复数；实系数二次方程的复数根具有实部相等、虚部相反的性质。
复数根性质
复数根概念引入及性质介绍
解答：利用公式法求解，得到方程的复数根为$x=\frac{2\pm4i}{2}=1\pm2i$，即$x_1=1+2i$，$x_2=1-2i$。
例题：求解二次方程$x^2-2x+5=0$的根。
分析：首先计算判别式$\Delta=(-2)^2-4\times1\times5=4-20=-16<0$，因此方程无实数根。
典型例题分析与解答
总结与拓展
二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c$
判别式与根的关系
当$\Delta>0$时，方程有两个不相等的实根；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实根（即一个重根）；
当$\Delta<0$时，方程无实根。
求根公式
对于二次方程$ax^2+bx+c=0$，其根为$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$
判别式的定义
$\Delta=b^2-4ac$
回顾本次课程重点内容
几何意义
在平面几何中，判别式可以用来判断直线与二次曲线的交点个数。
物理学应用
在力学、电磁学等领域，判别式常用于解决与二次方程相关的问题，如抛物线运动、电路分析等。
统计学应用
在回归分析中，判别式可以用来判断模型的拟合优度以及变量的显著性。
判别式在其他领域应用
拓展练习题
- 已知二次函数$y=x^2-2x+k$，当$k$取何值时，该函数与$x$轴有两个不相等的交点？