追及相遇问题详解

追及相遇问题详解

追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置。以甲追乙为例，可以总结出以下基本规律：

1. 速度变化与距离的关系：

• 若 ${v}_{甲}<{v}_{乙}$，无论甲的速度如何变化，甲乙之间的距离都会增大。
• 若 ${v}_{甲}={v}_{乙}$，甲乙之间的距离保持不变。
• 若 ${v}_{甲}>{v}_{乙}$，无论甲的速度如何变化，甲乙之间的距离都会减小。

2. 分析思路：

• 一个临界条件：速度相等。这是判断能否追上或距离最大、最小的关键条件。
• 两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系。通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口。

3. 常用分析方法：

• 物理分析法：抓住"两物体能否同时到达空间某位置"这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件。
• 二次函数法：设运动时间为 $t$，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离 $\Delta x$ 与时间 $t$ 的二次函数关系。通过判别式 $\Delta$ 判断能否相遇：
• 若 $\Delta > 0$，说明可以相遇两次；
• 若 $\Delta = 0$，说明刚好追上或相遇；
• 若 $\Delta < 0$，说明追不上或不能相遇。
• 图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像。位移-时间图像的交点表示相遇，分析速度-时间图像时，应抓住速度相等时的"面积"关系找位移关系。

4. 常见追及情景：

• 速度小者追速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大。
• 速度大者追速度小者（避碰问题）：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之间有最小值。

物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距 $x_0$，当 $v_B = v_A$ 时，若 $x_B > x_A + x_0$，则能追上；若 $x_B = x_A + x_0$，则恰好追上；若 $x_B < x_A + x_0$，则不能追上。特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。

例题解析

例1：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以 $a=3m/s^2$ 的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以 $6m/s$ 的速度匀速驶过，从后边超过汽车，则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？

解法一（分析法）：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为 $t$，两车间的距离为 $\Delta x$，则有 $v=at$。所以 $t=\frac{v}{a}=2s, \Delta x=vt-\frac{1}{2}at^2=6m$。

解法二（二次函数法）：设汽车在追上自行车之前经过时间 $t$ 两车相距最远，则 $\Delta x=vt-\frac{1}{2}at^2$。代入已知数据得 $\Delta x=6t-\frac{3}{2}t^2$。由二次函数求极值的条件知：$t=2s$ 时，$\Delta x$ 有最大值为 6 m。所以 $t=2s$ 时两车相距最远，为 6 m。

解法三（图像法）：自行车和汽车的 $v-t$ 图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，$t_1$ 时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，$v_1=6m/s$。所以有 $t_1=\frac{v_1}{a}=\frac{6}{3}s=2s$，$\Delta x=\frac{v_1t_1}{2}=\frac{6×2}{2}m=6m$。

例2：汽车A以 $v_A=4m/s$ 的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距 $x_0=7m$ 处，有以 $v_B=10m/s$ 的速度同向运动的汽车B正开始刹车做匀减速运动直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小 $a=2m/s^2$。从刚刹车开始计时。求：

（1）A追上B前，A、B间的最远距离；
（2）经过多长时间A恰好追上B。

解：
（1）汽车A和B的运动过程如图所示。当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即 $v_B-at=v_A$，解得 $t=3s$。此时汽车A的位移 $x_A=v_At=12m$，汽车B的位移 $x_B=v_Bt-\frac{1}{2}at^2=21m$。故最远距离 $\Delta x_{max}=x_B+x_0-x_A=16m$。

（2）汽车B从开始减速直到静止经历的时间 $t_1=\frac{v_B}{a}=5s$，运动的位移 $x_B'=\frac{v_B^2}{2a}=25m$。汽车A在 $t_1$ 时间内运动的位移 $x_A'=v_At_1=20m$。此时相距 $\Delta x=x_B'+x_0-x_A'=12m$。汽车A需再运动的时间 $t_2=\frac{\Delta x}{v_A}=3s$。故A追上B所用时间 $t_{总}=t_1+t_2=8s$。

拓展延伸：若某同学应用关系式 $v_{B'}t-\frac{1}{2}at^2+x_0=v_At$，解得经过 $t=7s$（另一解舍去）时A恰好追上B。这个结果合理吗？为什么？

解析：这个结果不合理，因为汽车B运动的时间最长为 $t=\frac{v_B}{a}=5s<7s$，说明汽车A追上B时汽车B已停止运动。