RC电路充放电过程的数学推导与仿真分析
RC电路充放电过程的数学推导与仿真分析
RC电路是电子工程中最基本的电路之一，广泛应用于滤波、耦合、积分、微分等电路中。本文将从数学角度详细推导RC电路的充放电过程，并通过Multisim仿真验证理论推导的正确性。
1、推导电容电流公式
本内容采用三种方法得到电容电压的计算公式，其中“2）直接推导电压公式”较为直接。如若不想看公式的推导过程，可以直接跳转至“4、Multisim仿真”。
图1.1 1阶RC电路
图1.2 1阶RC充放电波形
令 Vs为电源电压，Vc电容两端电压，Vr电阻两端电压；流过串联电路的电流定义为 i。
根据基尔霍夫电压定律(KVL)，回路中的电压降之和为零。因此有：
$$
V_s = V_c + V_r
$$
由于电阻上的电压降与电流成正比，即：
$$
V_r = iR
$$
代入上式得：
$$
V_s = V_c + iR
$$
将电容的电压电流关系式
$$
i = C\frac{dV_c}{dt}
$$
代入上式，得：
为了解这个微分方程，我们可以将其改写为：
$$
\frac{dV_c}{dt} + \frac{1}{RC}V_c = \frac{V_s}{RC}
$$
这是一个1阶线性微分方程，其解为：
$$
V_c(t) = V_0e^{-\frac{t}{RC}} + (V_s - V_0)(1 - e^{-\frac{t}{RC}})
$$
其中，V0 是电容的初始电压(在t = 0时的电压)。
将电容电压的表达式代入电容的电压电流关系式，得：
$$
i(t) = C\frac{dV_c}{dt} = \frac{V_s}{R}e^{-\frac{t}{RC}}
$$
计算导数后，得：
$$
i(t) = \frac{V_s}{R}e^{-\frac{t}{RC}}
$$
如果初始时电容未充电(即V0 = 0)，则上式简化为：
$$
i(t) = \frac{V_s}{R}e^{-\frac{t}{RC}}
$$
3、推导电容电压公式
1）电流公式推导电压公式
由公式
$$
i = C\frac{dV_c}{dt}
$$
得到：
$$
\frac{dV_c}{dt} = \frac{i}{C}
$$
根据基尔霍夫电压定律(KVL)：
$$
V_s = V_c + V_r
$$
可以推导出
$$
V_r = V_s - V_c
$$
$$
iR = V_s - V_c
$$
$$
i = \frac{V_s - V_c}{R}
$$
代入上式得：
$$
\frac{dV_c}{dt} = \frac{V_s - V_c}{RC}
$$
做一下变形可得：
$$
\frac{dV_c}{dt} + \frac{1}{RC}V_c = \frac{V_s}{RC}
$$
2）直接推导电压公式
由
$$
i = C\frac{dV_c}{dt}
$$
与
$$
V_r = iR
$$
可得流过电容的电流：
$$
i = \frac{V_s - V_c}{R}
$$
电阻两端电压：
$$
V_r = iR = V_s - V_c
$$
变形可得：
$$
V_c = V_s - V_r
$$
两边分别积分：
$$
\int V_c dt = \int (V_s - V_r) dt
$$
设
$$
V_c(0) = V_0
$$
，得
$$
V_c(t) = V_0e^{-\frac{t}{RC}} + (V_s - V_0)(1 - e^{-\frac{t}{RC}})
$$
∵
$$
V_c(0) = V_0
$$
∴
$$
V_c(t) = V_0e^{-\frac{t}{RC}} + (V_s - V_0)(1 - e^{-\frac{t}{RC}})
$$
已知：
$$
V_c(0) = V_0
$$
经过变换可得：
$$
V_c(t) = V_0e^{-\frac{t}{RC}} + (V_s - V_0)(1 - e^{-\frac{t}{RC}})
$$
t = RC e^(-1) ≈ 36.8% 1-e^(-t/RC) = 63.2%Vs
t = 2.3RC e^(-2.3) ≈ 10% 1-e^(-t/RC) = 90%Vs
t = 3RC e^(-3) ≈ 5% 1-e^(-t/RC) = 95%Vs
t = 5RC e^(-5) ≈ 1% 1-e^(-t/RC) = 99%Vs
4、Multisim仿真
图4.1 1阶RC的Multisim仿真(原文件)
通常以时间常数 τ = RC度量电容充电时间，如图4.1所示。
光标1：x1 = 1mS即1τ时，电容C上的充电电压y1 = 3.1672V，达到3.1672Ｖ/5V = 63.2%；
光标2：x2 = 3mS即3τ时，电容C上的充电电压y1 = 4.7515V，达到4.7515V/5V = 95%。
时间常数 充电电压 放电电压
t = 1τ 63.2% 36.8%
t = 2.3τ 90% 10%
t = 3τ 95% 5%
t = 5τ 99% 1%
5、时间常数在线计算
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