考研数学一：无穷级数与傅里叶级数知识点解析

考研数学一：无穷级数与傅里叶级数知识点解析

本文主要介绍考研数学大纲中第七章无穷级数（数学一）和傅里叶级数（数学一）的相关知识点，包括常数项级数的收敛和发散的概念、级数部分和的概念、级数收敛的充要条件和必要条件、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别法，以及几何级数与级数收敛与发散的条件等。本文适合考研数学一的考生复习使用。

常数项级数的收敛和发散的概念

设有数列，则称为无穷级数。它的前项和

,称为级数部分和。

如果部分和数列有极限，即，则称级数收敛，其极限值称为级数的和，记为．若不存在，则称级数是发散的。

级数收敛的充要条件

级数是收敛的充要条件是。

级数收敛的必要条件

若级数收敛，则。

例题

判断下列级数的敛散性。

（1）.（2）。

解析

（1）由于

，

.故原级数收敛。

注

部分和数列中的是有限项，所以满足交换律和结合律。

（2）由于，

，故原级数发散。

级数的基本性质

（1）若，则（为常数）也收敛，且其和为，即．

（2）若，则也收敛，且其和为，即

．

（3）增加或去掉有限项，级数的敛散性不变。

（4）收敛级数不改变各项次序可以任意加括号，不仅收敛性不变，且其和也不变。

注

收敛级数满足结合律，不满足交换律。

正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别法

（1）正项级数收敛的充要条件是其前项和数列有上界。

（2）（比较判别法）设均为正项级数，且。如果收敛，则收敛；如果发散，则发散。

（3）（比较判别法的极限形式）设均为正项级数，且，

则：

当时，两个级数同时收敛或发散；

当，且收敛时，收敛；

当，且发散时，发散。

（4）（比值判别法）对于正项级数，若有，则时，级数收敛；时，级数发散；时，级数敛散性不确定。

（5）（根值判别法）对于正项级数，若有，则时，级数收敛；时，级数发散；时，级数敛散性不确定。

几何级数与级数收敛与发散的条件

（1）几何级数，

当时，收敛，和；当时，发散。

（2）级数，当时收敛；当时发散。

级数，当时收敛；当时发散。

例题

判断下列级数的敛散性。

（1）.（2）.（3）.（4）