椭圆曲线加法运算详解

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@小白创作中心

椭圆曲线加法运算详解

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CSDN

https://blog.csdn.net/Canhui_WANG/article/details/140912060

椭圆曲线在密码学中扮演着重要角色，特别是在椭圆曲线密码学（ECC）中。它不仅提供了与传统密码学方法相当的安全性，而且在计算效率上更具优势。本文将从椭圆曲线的定义出发，通过一个具体的例子，详细介绍椭圆曲线上两点加法的计算过程。

1. 定义

椭圆曲线 (Elliptic Curve) 不是函数，而是一条平面曲线，其方程是定义如下：
y 2 = x 3 + a x + b y^2=x^3+ax+by2=x3+ax+b
其中，判别式Δ = − 16 ( 4 a 3 + 27 b 2 ) ≠ 0 \Delta =-16(4a^3+27b^2)\neq 0Δ=−16(4a3+27b2)=0。判别式表示该方程需要满足无奇点的约束条件。无奇点在几何上意味着曲线没有尖点，自相交点，或孤立点。
举例而言，当( a , b ) = ( 0 , 0 ) (a,b)=(0,0)(a,b)=(0,0)时，Δ = 0 \Delta=0Δ=0意味着曲线存在奇点，不满足无奇点的约束条件，此时曲线y 2 = x 3 y^2=x^3y2=x3不是椭圆曲线。

2. 椭圆曲线加法运算

2.1. 问题描述

给定椭圆曲线y 2 = x 3 + 8 y^2=x^3+8y2=x3+8，点P = ( 0 , 2 2 ) P=(0, 2\sqrt{2})P=(0,22 )，Q = ( − 2 , 0 ) Q=(-2, 0)Q=(−2,0)，（注意，这里点P，Q是实数集上的例子，仅仅作示范使用，真实在有限域中，点P，Q的值均为整数），求椭圆曲线y 2 = x 3 + 8 y^2=x^3+8y2=x3+8中，P + Q P+QP+Q的值？

2.2. 解决方案

步骤一：求直线PQ的方程式

直线PQ的斜率:y p − y q x p − x q = 2 2 − 0 0 − − 2 = 2 \frac{y_p-y_q}{x_p-x_q}=\frac{2\sqrt{2}-0}{0--2}=\sqrt{2}xp −xq yp −yq =0−−222 −0 =2

代入Q点，得到直线PQ的方程式:y = 2 + 2 2 y=\sqrt{2}+2\sqrt{2}y=2 +22

步骤二：求直线PQ和椭圆曲线的第三个交点，取第三个交点的关于Y的对称点

并列直线PQ和椭圆曲线的方程{ y 2 = x 3 + 8 y = 2 x + 2 2 \begin{cases} y^2=x^3+8& \ y=\sqrt{2}x+2\sqrt{2}& \end{cases}{y2=x3+8y=2 x+22

得到第三个交点R ′ = ( 4 , 6 2 ) R'=(4,6\sqrt{2})R′=(4,62 )

取第三个交点的关于Y的对称点R = ( 4 , − 6 2 ) R=(4,-6\sqrt{2})R=(4,−62 )

因此，椭圆曲线y 2 = x 3 + 8 y^2=x^3+8y2=x3+8中，P + Q = R = ( 4 , − 6 2 ) P+Q=R=(4,-6\sqrt{2})P+Q=R=(4,−62 )。