直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角与斜率是解析几何中的基本概念，它们分别描述了直线的方向和倾斜程度。下面将详细介绍这两个概念及其计算方法。

直线的倾斜角

定义

当直线 $l$ 与 $x$ 轴相交时，取 $x$ 轴作为基准，$x$ 轴正向与直线 $l$ 向上方向之间所成的角 $\alpha$ 叫做直线 $l$ 的倾斜角。

特别地，当直线 $l$ 与 $x$ 轴平行或重合时，规定 $\alpha =0^\circ$。

范围

$\alpha \in [0^\circ, 180^\circ)$. 当直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，$\alpha =90^\circ$。

直线的斜率

定义

当一条直线与坐标系相交时，倾斜角的正切值被称作直线的斜率。如下图 $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\tan\theta$，其中 $\theta$ 的取值范围为 $0^\circ \leq \theta < 180^\circ$，当 $\theta =90^\circ$ 时斜率不存在。

斜率的通俗解释就是：直线的倾斜程度，把直线想象为山坡，直线斜率绝对值越大，表示山坡越陡峭。斜率越小，表示山坡越平坦。

当直线垂直 $x$ 轴时，这时倾斜角为 $\frac{\pi}{2}$，但是斜率不存在。

当直线 $l$ 与 $x$ 轴平行或重合时，$\theta =0^\circ，k=\tan 0^\circ=0$；

当直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，$\theta =90^\circ,k$ 不存在。

斜率公式

经过两点 $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)(x_1 \neq x_2)$ 的直线的斜率公式是

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

使用斜率公式的时候要注意 $x_1 \neq x_2$ 的前提条件。

例题解析

例1 已知直线 $l$ 经过点 $A(-1,3)$ 与 $B(2,0)$，求直线 $l$ 的斜率 $k$ 与倾斜角 $\theta$。

解：因为 $A,B$ 两点的横坐标不相等，所以斜率

$$k=\frac{0-3}{2-(-1)}=-1.$$

因此 $\tan\theta =-1$，由 $\theta \in [0,\pi)$ 可知倾斜角 $\theta =135^\circ$。

例2 在平面直角坐标系中，画出经过点 $A(2,0)$，且斜率分别为 2 与 -2 的直线 $l_1,l_2$。

分析 要画出过点 $A(2,0)$ 且斜率为 2（或 -2）的直线，只需再确定直线上异于点 $A$ 的另一个点的位置（即坐标）。

解 设直线 $l_1$ 上另一点 $B$ 的坐标为 $(x_1,y_1)$，根据斜率公式有

$$2=\frac{y_1-0}{x_1-2}$$

即 $y_1=2(x_1-2)$。不妨取 $x_1=0$，则 $y_1=-4$，于是得点 $B$ 的坐标为 $(0,-4)$。过点 $A(2,0)$ 及点 $B(0,-4)$ 作直线即为 $l_1$，如图

同样地，设直线 $l_2$ 上另一点 $C$ 的坐标为 $(x_2,y_2)$，根据斜率公式有 $-2=\frac{y_2-0}{x_2-2}$，

即 $y_2=-2(x_2-2)$。取 $x_2=0$，则 $y_2=4$，于是得点 $C$ 的坐标为 $(0,4)$。过点 $A(2,0)$ 及点 $C(0,4)$ 作直线即为 $l_2$，如图