阶乘与伽马函数浅谈

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@小白创作中心

阶乘与伽马函数浅谈

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CSDN

https://blog.csdn.net/2301_77842844/article/details/130392464

阶乘与伽马函数是数学中两个重要的概念，它们在组合数学、概率论、物理学等领域都有广泛的应用。本文将从阶乘的基本概念出发，逐步介绍双阶乘和伽马函数的定义及其性质，帮助读者更好地理解这两个概念。

一、新朋友——阶乘

(1)认识一下

阶乘（!）是基斯顿·卡曼于1808年发明的运算符号，指从1乘以2乘以3乘以4一直乘到所要求的数。符号语言如下：
$$
n! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n
$$
特别的，规定：
$$
0! = 1
$$
由上面的式子可以看出，n的取值范围是全体自然数，例如：
$$
5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120
$$

(2)稍加扩充

如果仍按(1)中的定义，那么阶乘的可使用范围就显得有些狭小。下面将阶乘的范围扩充：
$$
(-n)! = \frac{(-1)^n}{n!}
$$
这样一来，n的范围就由自然数扩充到了全体整数。

(3)双阶乘

我们接着引入双阶乘：当m是自然数时，表示不超过m且与m有相同奇偶性的所有正整数的乘积；当m是负奇数时，表示绝对值不超过它的绝对值的所有负奇数的绝对值积的倒数。用符号表示为：
$$
m!! = \begin{cases}
m \cdot (m-2) \cdot (m-4) \cdots 2, & \text{if } m \geq 0 \text{ and } m \text{ is even} \
m \cdot (m-2) \cdot (m-4) \cdots 1, & \text{if } m \geq 0 \text{ and } m \text{ is odd} \
\frac{1}{|m| \cdot (|m|-2) \cdot (|m|-4) \cdots 1}, & \text{if } m < 0 \text{ and } m \text{ is odd}
\end{cases}
$$
举几个例子：
$$
5!! = 5 \times 3 \times 1 = 15 \
(-5)!! = \frac{1}{5 \times 3 \times 1} = \frac{1}{15}
$$
另外，还有以下重要等式：
$$
(2n)!! = 2^n \cdot n! \
(2n-1)!! = \frac{(2n)!}{2^n \cdot n!}
$$

二、阶乘函数

阶乘函数其实并不是很常用，更常用的是(三)中的那个可怕的家伙。这里只给出函数
在
时的图像：

三、广义阶乘函数——伽马函数

如果你感到不解,很正常,我或许比所有人都迷糊,闭上眼,让思绪飞一会——
但如果你觉得头脑仍然清晰无比,很好,那就让我们领略真正的数学——伽马函数(前方高能)。
前面提到的阶乘函数的定义域都仅限于整数,甚至连有理数都无法涉足。这个伽马函数(又称欧拉第二积分)一下子把阶乘函数的定义域扩展到了全体实数。这个函数是用一个反常积分式定义的,不是初等函数。伽马函数也可继续扩展到复数范围内,这里我们只浅浅地见识一下实数范围内的(无论什么范围都将我搞得无所适从)。
1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列
,
,
,
.....可以用通项公式
自然的表达，即便
为实数的时候，也可以找到一条平滑的曲线
通过所有的整数点(,
),从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列
,
,
,
,
,...,可以计算
,
,
是否可以计算
呢？把最初的一些(,
)的点画在坐标轴上，确实可以看到，可以画出一条通过这些点的平滑曲线.
但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教伯努利，由于欧拉当时和伯努利在一块，他也因此得知了这个问题.而欧拉于
年完美地解决了这个问题，由此导致了伽玛函数的诞生，当时欧拉只有
岁.(年少有为啊!)
一起来欣赏它的表达式:
$$
\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt
$$
顺便看看它的图像: