哪些情况要分左右极限考虑?

哪些情况要分左右极限考虑?

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/qq_56140091/article/details/143961253

在数学分析中，极限是一个核心概念，而左右极限则是理解函数行为的关键。本文将详细介绍在哪些情况下需要分别考虑函数的左极限和右极限，这对于深入理解函数的连续性和可导性具有重要意义。

哪些情况要分左右极限考虑?

计算函数极限时，大多数情况下不需要分左右极限考虑，需要分左右的情况主要为以下两部分：

（一）基本初等函数：

1. 幂函数，如
   $$
   \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{1}{x} = -\infty, \quad \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x} = +\infty
   $$

2. 指数函数，如e的无穷大次方型：
   $$
   \lim_{x \rightarrow \infty} e^x, \quad \lim_{x \rightarrow 0} e^{\frac{1}{x}}, \quad \lim_{x \rightarrow 1} e^{\frac{1}{x-1}}
   $$

3. 三角函数，如tan x:
   $$
   \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{+}} \tan x = -\infty, \quad \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}} \tan x = +\infty
   $$

4. 反三角函数，如arctan ∞型:
   $$
   \lim_{x \rightarrow \infty} \arctan x, \quad \lim_{x \rightarrow 0} \arctan \frac{1}{x}, \quad \lim_{x \rightarrow 1} \arctan \frac{1}{x-1}
   $$

(二) 分段函数分段点:

取分段函数分段点的极限时，需要讨论左右趋向的情况。

1. 绝对值函数，例如|x| (x → 0时：
   $$
   \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{|x|}{x} = 1, \quad \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{|x|}{x} = -1
   $$

2. 取整函数，例如[x] (x → Z时)：
   $$
   \lim_{x \rightarrow 0^{+}}[x] = 0, \quad \lim_{x \rightarrow 0^{-}}[x] = -1
   $$

3. 符号函数:
   $$
   y = \operatorname{sgn} x =
   \begin{cases}
   1, & x > 0 \
   0, & x = 0 \
   -1, & x < 0
   \end{cases}
   $$
   有
   $$
   \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \operatorname{sgn} x = -1, \quad \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \operatorname{sgn} x = 1
   $$

【注】还比如x → ∞型：当x → ∞要分x → -∞, x → +∞讨论。