【MATLAB伯德图入门指南】：揭秘伯德图原理，轻松绘制系统稳定性评估图

【MATLAB伯德图入门指南】：揭秘伯德图原理，轻松绘制系统稳定性评估图

引用

CSDN

1.

https://wenku.csdn.net/column/2dn7semvmy

伯德图是一种用于分析反馈控制系统稳定性的图形工具，它描述了系统开环传递函数的幅值和相位随频率的变化情况。本文将从伯德图的基本原理出发，详细介绍其绘制方法，并探讨其在控制系统设计和滤波器设计中的应用。

1. 伯德图简介

伯德图，又称奈奎斯特图，是一种用于分析反馈控制系统稳定性的图形工具。它描述了系统开环传递函数的幅值和相位随频率的变化情况，从而可以直观地判断系统的稳定性。伯德图的绘制基于奈奎斯特稳定性判据，该判据指出：如果开环传递函数在单位圆内没有包含原点的包围，则系统稳定。

2. 伯德图原理

2.1 奈奎斯特稳定性判据

奈奎斯特稳定性判据是伯德图分析的基础，它给出了确定线性时不变（LTI）系统稳定性的图形方法。该判据规定，对于一个具有开环传递函数 (G(j\omega)) 的 LTI 系统，如果 (G(j\omega)) 在整个负实轴上的奈奎斯特轨迹不包围原点，则系统稳定。

2.2 伯德图的定义和构造

伯德图是奈奎斯特轨迹的极坐标表示，它以频率 (f) 为横轴，以复数传递函数 (G(j\omega)) 的幅值和相位为纵轴绘制。伯德图的构造步骤如下：

1. 计算传递函数：计算系统的开环传递函数 (G(j\omega))。
2. 计算奈奎斯特轨迹：对于一系列频率 (f)，计算 (G(j\omega)) 的复值，并绘制其在复平面的轨迹。
3. 绘制伯德图：将奈奎斯特轨迹转换为极坐标，以 (f) 为横轴，以幅值和相位为纵轴绘制伯德图。

3. 伯德图绘制实践

3.1 MATLAB中的伯德图绘制函数

MATLAB提供了bode函数用于绘制伯德图。bode函数的基本语法如下：

bode(sys, w)

其中：

• sys：要绘制伯德图的系统传递函数。
• w：频率向量。

bode函数绘制幅度和相位响应，幅度响应以分贝为单位。

3.2 伯德图绘制示例

考虑一个具有以下传递函数的系统：

sys = tf([1 2], [1 3 2]);

使用bode函数绘制伯德图：

bode(sys, logspace(-2, 2, 100));

产生的伯德图如下：

4. 伯德图分析

4.1 稳定性评估

伯德图可以直观地评估系统的稳定性。在伯德图中，如果闭环系统的奈奎斯特曲线不与单位圆相交，则系统是稳定的。

4.2 性能裕度计算

伯德图还可以用于计算系统的性能裕度。性能裕度是指系统稳定裕度与所需稳定裕度的差值。

性能裕度 = 相位裕度 + 增益裕度

性能裕度越大，系统稳定性越好。

5. 伯德图在系统设计中的应用

5.1 控制系统设计

伯德图在控制系统设计中扮演着至关重要的角色，因为它提供了对系统稳定性和性能的深入了解。通过分析伯德图，控制工程师可以确定系统的稳定性裕度，并优化系统性能。

5.2 滤波器设计

伯德图在滤波器设计中也得到了广泛的应用。通过分析伯德图，滤波器设计人员可以优化滤波器的截止频率、通带增益和阻带衰减等性能指标。

6. Nyquist-Shannon采样定理

Nyquist-Shannon采样定理，又称奈奎斯特采样定理，是信号处理中一个重要的定理，它指出：对于一个带宽为 (B) 的连续时间信号，如果以大于 (2B) 的采样率对其进行采样，则可以完美地重建原始信号。

定理表述：

$$f_s > 2B$$

定理证明：

Nyquist-Shannon采样定理的证明基于伯德图。考虑一个带宽为 (B) 的连续时间信号 (x(t))，其伯德图如下图所示：

从伯德图中可以看出，当采样率低于 (2B) 时，伯德图中的闭合轨迹会穿过不稳定区域，导致采样后的信号失真。而当采样率大于 (2B) 时，伯德图中的闭合轨迹完全位于稳定区域，保证了采样后的信号可以完美重建。

应用：

Nyquist-Shannon采样定理在数字信号处理中有着广泛的应用，例如：

• 模拟信号的数字化：根据定理，可以确定合适的采样率，以数字化模拟信号。
• 数据传输：在通信系统中，采样定理用于确定信号传输所需的带宽。
• 图像处理：在图像处理中，采样定理用于确定图像的采样率，以避免混叠。