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善于观察探思路——以中考平面几何题为例

创作时间:
作者:
@小白创作中心

善于观察探思路——以中考平面几何题为例

引用
1
来源
1.
https://www.fx361.cc/page/2024/0307/23088268.shtml

在解数学题时,尤其是平面几何题,观察是一种非常重要的能力。通过观察,我们可以更好地理解题目,发现已知条件和未知量之间的联系,从而找到解题的突破口。本文将通过具体的中考题目案例,详细展示如何通过观察来解决平面几何问题。

观察的定义与特点

观察是一种人类对周围出现的事物或现象进行有目的的考察所表现出来的心理现象。在数学教学活动中,观察主要指对由符号、字母、数字或文字所表示的数学关系式、命题、问题及图表、图象、几何图形的结构特点进行考察。

郑步春认为观察能力具有以下特点:目的性、有序性、取舍性、敏锐性、全面性。这些特点可以帮助我们在解题时更加高效地寻找解题思路。

如何通过观察探求解题思路

在数学活动中,我们应该如何观察以探求解题思路呢?具体来说,我们需要:

  1. 带着目的进行观察,明确观察是为了探求解题思路;
  2. 从整体到局部再到整体的顺序进行观察;
  3. 对观察到的信息进行取舍,直指问题的本质特征;
  4. 注意到易于忽略的信息;
  5. 关注问题的显性信息和隐形信息。

通过这些步骤,我们可以更好地理解题目,发现已知条件和未知量之间的联系,从而找到解题的突破口。

案例分析

接下来,我们通过两个具体的中考题目案例,详细展示如何通过观察来解决平面几何问题。

例1:等边三角形中的旋转问题

题目:在等边△ABC中,AB=6,BD⊥AC,垂足为D,点E为AB边上一点,点F为直线BD上一点,连接EF。将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG,连接FG。

(1)如图1,当点E与点B重合,且GF的延长线过点C时,连接DG,求线段DG的长。

解题思路分析:

  • 观察题干:

  • 已知量:△ABC为等边三角形,AB=BC=AC=6,三内角均为60°;由BD⊥AC,垂足为D,易得∠ABD=∠CBD=30°,AD=CD=3;由EF=EG,∠GEF=60°,得△EFG为等边三角形,∠CBG=90°。

  • 未知量:DG的长,易发现DG在△DFG、△CDG、△DEG中,连接AG,则DG还在△ADG中。

  • 观察已知量与未知量的联系:

  • 思路1:△CDG中已知CD,要求DG,需先求出CG长与∠ACG,由隐含信息可求得,继而求DG长。

  • 思路2:△ADG中已知AD,要求DG,需先求出AG长与∠DAG,由隐含信息可求得,继而求DG长。

  • 观察题设:

  • 先找出隐含信息,△EFG为等边三角形,得出∠EFH=120°,又∠ABC=60°,易发现∠BEF=∠CHF,BE与BF同在△BEF中,HC与BH共线,且∠BEF=∠CHF,不妨作直线FP=FB且与BH所在直线相交,容易得到两三角形全等,BE=HP,达到使与BE、BH长度相等的线段共线目的,这时就可顺理成章地获得。

例2:等边三角形中的旋转与中点问题

题目:在等边△ABC中,AB=6,点D、M、N分别为BC、EF、EC中点。将△AEF绕点A逆时针旋转,旋转角为α,M为线段EF的中点,连接DN、MN。当30°<α<120°时,猜想∠DNM的大小是否为定值,并证明你的结论。

解题思路分析:

  • 观察整体:

  • 题干中提到许多中点,如D、M、N分别为BC、EF、EC中点。题中要求猜想∠DNM的大小是否为定值,观察题目可知为定值的角有∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,∠EAF=∠AEF=∠AFE=60°。

  • 观察局部:

  • 已知量为点D、M、N分别为BC、EF、EC中点,在图中更直观地可以看到DN、MN,从而联想到三角形的中位线定理,不妨连接BE、CF,再有△ABC、△AEF都为等边三角形,不难发现∠BAE=∠CAF,从而得出△ABE≌△ACF。

  • 观察已知量与未知量的联系:

  • ∠DNM为定值,已知量中为定值的角有∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,∠EAF=∠AEF=∠AFE=60°,试图将∠DNM与这些角联系在一起,∠DNM不可直接求得,可将其转化成求其他角的大小。

  • 解题过程:

  • 连接BE、CF。因为AB=AC,AE=AF,∠BAE=∠CAF,所以△ABE≌△ACF,所以∠ABE=∠ACF。

  • 因为∠ABC+∠ACB=60°+60°=120°,所以∠EBC+∠BCF=∠ABC-∠ABE+∠ACB+∠ACF=120°。

  • 易得∠ENM=∠ECM,∠CDN=∠EBC。

  • 因为∠END=∠NDC+∠ACB,从而易知∠DNM=∠DNE+∠ENM=∠NDC+∠ACN+∠ECM=∠EBC+∠ACB+∠ACF=∠EBC+∠BCF=120°。

观察方法总结

  1. 注意观察整体:
  • 观察整体的目的是对问题有一个整体的印象,抓住问题的主要特征。如例2(2),通过观察整体,发现题中有多个角均为定值,要想求得未知量,就要将其与其他定值角联系在一起。若未先观察整体,而先从部分入手,很可能只能获得一些无效信息,解题解到中途发现前面都是在做无用功。
  1. 观察已知量(题设)与未知量(结论)的联系:
  • 不论是求解题还是证明题,问题解决的途径就是探明已知量到未知量、题设到结论的路径,因此观察已知量(题设)和未知量(结论)之间的联系显得尤为重要,一种方法是从已知量顺推至未知量。
  1. 观察得到问题中的隐含信息:
  • 问题解决过程中往往很难一眼就看出从已知量到未知量的路径,经常需要找到题中的隐含信息,并借助其作为台阶一步一步从已知量走向未知量。当然,不是盲目地探寻隐含信息,而是要带着问题解决的目的去寻找,还要注意甄别隐含信息中哪些信息是有效信息,哪些信息是无效信息,为问题解决创造条件。
  1. 观察过程中注重联想,大胆试错:
  • 联想能力和观察能力一样,都是问题解决过程中不可或缺的思维能力。此外,通过观察、联想,还要大胆试错,因为有时解题思路并不明了,找到一个突破口之后,便要勇于尝试,看能否向下一步推进。这是问题解决过程中解题者需要调动的非认知能力,有的解题者不敢轻易试错,生怕踏错一步,于是便只能踌躇不前。

结束语

通过观察、解读题目,找出已知数据和未知量的联系,探求解题路径,是解题过程极重要的环节,而解题困难者则缺失了这一环。在这重要一环中,观察便是解题者需要调动的一种重要的思维能力,因此,教师在平时的教学中应注重培养学生的观察力。

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