震惊！发现计算发散级数的新方法
震惊！发现计算发散级数的新方法
1913年，印度数学天才斯里尼瓦萨·拉马努金做了一件"不合法"的事情。他将所有自然数的和 1+2+3+4+⋯视为一个有限数，而他得出的结果确实令人惊叹。这一数值在他的计算中竟然精确地等于 -1/12。
拉马努金知道，他的发现可能完全是无稽之谈。他甚至写到因为这个结果可能要被送进精神病院。因为一个发散的无穷级数绝不可能是一个有限的数。然而，他仍然感到好奇，不论他用何种方式对这个无穷"怪兽"求和，他总会得到-1/12。一个无穷正整数的和怎么可能与一个负的非整数分数扯上关系？拉马努金并不知道，他并不是第一个注视这片无穷深渊的人！
拉马努金在他的第一本笔记中描述这个级数"常数"的一段文字
拉马努金当时正在孤立无援的环境中工作，他不知道，仅仅在他"发现"的50年前，伟大的德国数学家伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）已经通过一种称为全纯函数解析延拓的方法，展示了这个无穷级数与有限值-1/12之间的真实联系。对于普通人来说，这意味着，一个复可微函数可以且只能以一种方式延拓到定义域更广的区域。准确来说，这意味着这个发散级数唯一合理的有限值（如果存在的话）必须是-1/12，而这种唯一性来自解析延拓和复函数理论。
早期的数学先驱打破规则，探索了这一尚未被严格证明的领域。他们的探索为后来更严格的数学研究铺平了道路。数学家兼作家爱德华·弗伦克尔（Edward Frenkel）将这些先驱称为"数学匪徒"，因为他们为了完成工作而打破了规则。
最终的结果必须是数学上可证明且严谨的，但在这个过程中，如果可以借助尚未完全理解甚至不合法的手段启发思路，并最终使问题变得可被严格证明，那么打破规则是可以接受的。
将有限值分配给发散级数的过程有时被称为正则化（regularization），现在被广泛用于量子物理和弦理论中。
一个令人惊讶的巧合
作者偶然发现了一些有趣的事情。通过一个具体的例子，可以最好地解释这个发现，因此让我们重新审视这个著名的发散级数 1+2+3+4+⋯
让我们来看对应多项式 f(x)=x(x+1)2的图像。
当第一次看到这个函数图像时，对 x 轴与图像之间的区域产生了好奇，如下图所示。
于是计算了从 -1到 0 的积分，结果让人感到十分有趣：
当然，已知正则化后的级数具有这个值，并且正在面对的是拉马努金 100 年前所困扰的同样的怪现象。尝试对其他发散级数做同样的操作。
不过，在进行这些操作之前，需要回顾一下黎曼ζ函数（Riemann zeta function）的定义：
该级数在 Re(s)>1 时（或者更简单地说，当 s>1且 s 是实数时）收敛。通过对 ζ 函数进行解析延拓，可以对除了 s=1之外的所有复数进行求值。特别是可以计算出 ζ(-1)=-1/12，这对应于拉马努金研究的那个级数，并被认为是该级数的正则化值。当然，在 s=-1时，级数定义并不适用，但通过某些"非法"的操作，这个发散级数仍然"看起来像" -1/12。
在发现上述积分给出了正则化值后，继续尝试看看是否可以用同样的方法处理发散级数：
已知这个级数的正则化值是 ζ(-2)=0。让我们看看这种积分方法是否同样能得到 0。首先，需要找到这个级数部分和的一个光滑的闭式表达式。这是一个经典的结果：
但虽然左边的 n 必须是一个自然数，右边的表达式对于实数值的n是有意义的，因此可以定义这个实数函数：
该函数对所有实数值的x都是定义的。请注意，这个函数满足一个有趣的函数方程
这个特性在文章后面会非常重要。
现在，计算从-1到0的这个函数的积分，这对应于下图中标红的区域：
各位读者，看到的是黎曼ζ函数的第一个平凡零点。果然，两个着色区域相互抵消，积分的结果是：
结果表明，如果对其他的 ζ(-n)（其中n是自然数）做同样的处理，每次这个积分都会给出正确的答案。
回顾一下法尔哈伯公式（Faulhaber's formula）：
其中，B_m 是伯努利数，按照惯例有：
并且大括号中，两个数字在上面堆叠的部分是二项式系数。
不知为何，通过法尔哈伯公式得到的光滑函数，在实数输入变量的情况下，包含了关于对应无穷发散级数的信息，尤其是在区间 [-1,0]内。
也就是说，认为：
公式的回归
发现这一点时，觉得非常有趣，但同时并不觉得特别惊讶，因为知道伯努利数之间有许多关系，只是认为，计算积分得到的和只是偶然给出了这些值：
这些值恰好对应于负的 ζ 值 ζ(-k)。换句话说，认为这只是一个巧合，认为这个积分能够给出黎曼ζ函数的正则化值，是因为伯努利数之间有许多求和恒等式。
但脑海中，它仍然让人感到困惑。毕竟，之所以最初发现这一点，是因为有一种直觉，认为必须在多项式的根之间进行积分。这个积分是否比最初想的更有意义呢？
如果没有更多的内容，那这篇文章就没什么可写的了。
事实是，偶然将其与超阶乘联系起来，揭示了两个看似不同领域的联系。
超阶乘是形式为
事实证明，这些数字可以通过一个实值函数 K 来推广，就像阶乘可以通过伽玛函数Γ来推广一样。
通过对这个函数的研究，一次又一次遇到了常数 ln(2π)/2。特别是，知道：
还知道这个常数与常数 -ζ'(0)是一致的。通过使用积分将黎曼ζ函数的部分和推广到实函数的方式进行评估，现在发现这个积分给出了另一个ζ值。感觉自己突然获得了以前被隐藏的拼图碎片。
回想一下，与值 ζ'(0)对应的发散级数是：
当然，从严格的数学意义上讲，这个级数是没有意义的，但这个发散级数的正则化值是 ζ'(0)。可以通过以下计算来找到这个级数的部分和的推广：
结果，正如之前一样，得到了：
这真是太奇怪了！！！
事实上，法尔哈伯多项式从 -1到 0 的积分给出负的 ζ 值可能是巧合，但这简直太奇怪了。为什么它在这个级数上也能起作用呢？
如果尝试对与常数 ζ'(-1)对应的发散级数使用相同的技巧，使用 K 函数，结果也一样有效，实际上，当我们尝试对这些函数的推广进行操作时，可以得到 ζ'(-2)、ζ'(-3) 等等。巧合吗？想不是。
计算收敛级数
似乎可以使用这些积分来评估黎曼ζ函数的发散级数。但是，这能否推广到 ζ(2)、ζ(3)等值呢？
为了研究这个问题，需要一个自然的实函数定义，来定义所谓的广义调和数。如果使用以下通过赫尔维茨ζ函数定义的广义调和数：
其中，x 在这种情况下应当是自然数，这样第一个公式才能成立，那么得到了这个推广，因为上式的右边可以取任何实数值x，除了非正整数。所以将广义调和数（阶数为s）定义为函数
ζ(s) - ζ(s, x+1)
不幸的是，从 x=-1到 x=0 的这个函数的积分是发散的，因此不能立即使用积分公式。
然而，就像之前看到的那样，这个函数满足函数方程：
因此，通过在积分中进行小的替代，并使用函数方程，正式得到了（忽略积分中的收敛性问题）：
右侧的积分是收敛的。果然，当使用这个定义时，得到了：
等等。同样，在考虑收敛级数时，这些积分似乎有效。
请注意，本来可以使用多伽玛函数而不是赫尔维茨ζ函数来定义广义调和数，但结果是一样的。
最后的感想
为什么会这样？为什么黎曼ζ函数级数的光滑部分和包含了关于黎曼ζ函数值的信息，既在级数收敛的域中，也在需要解析延拓的域中？
老实说，不知道！发现这种方法并不是对所有级数都有效。例如，它对几何级数就不起作用。那么类似的方法能否作用于其他级数呢？也许吧……