高数 | 利用定积分定义求极限的方法与步骤

高数 | 利用定积分定义求极限的方法与步骤

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/weixin_47187147/article/details/123328867

在高等数学中，利用定积分的定义来求解极限问题是一种重要的方法。这种方法的核心思想是将极限问题转化为定积分问题，从而简化计算过程。本文将详细介绍如何利用定积分定义求解极限问题，包括题目特征、解题步骤以及具体示例。

定积分的定义

定积分的定义涉及到对区间进行分割和近似。具体来说，将区间任意分割，然后用直线近似代替曲线段。当分割足够细小时，每个子区间内的函数值可以看作是常数，此时可以用小矩形的面积来近似表示曲线下的面积。这种近似方法的核心在于将复杂的曲线问题转化为简单的矩形面积问题。

利用定积分定义求极限的题目特征

这类题目通常具有以下特征：

1. 分子齐（都是1次或0次）
2. 分母齐（都是2次）
3. 分母比分子多一次

例如：

• 例1：分母都是2次，分子都是1次，分母比分子多一次。
• 例2：分母都是1次，分子都是0次（因为都是1，可以看做是0次方），分母比分子多一次。

利用定积分定义求极限的求解步骤

1. 通过恒等变形，将待求数列极限化为特殊形式的积分和

   即化成：
   

   之所以提出来1/n，正是因为它是那个小矩形的宽，而小f这个函数代表的就是矩形的长。这两个乘起来，就构成了面积微元。

2. 寻找被积函数 f 以及确定积分上下限

3. 根据定积分的定义，写成定积分

4. 计算定积分，得所求极限为

   

   其中大F为小f的原函数。

总结

当你遇到一个若干项和求极限的题目时，如果它恰好符合利用定积分的定义来做，那么你需要在心里问自己两个问题：

• 我的被积函数在哪里？
• 积分上下限在哪里？

通过提取出1/n，得到面积微元的小矩形的宽，通过得到小f(x)得到小矩形的长，两者乘起来进行累加，就是定积分！

如果题目出得更难一些，可能会将夹逼定理和放缩法与定积分定义结合在一起考察。这种类型的题目主要考察考生是否真正理解了定积分的定义，同时是否掌握了求极限的方法。