极值点偏移问题

极值点偏移问题

极值点偏移是高考导数题的一种形式，初见这种题目会显得比较迷茫，但是只要掌握了其主要做法之后，就会发现极值点偏移问题其实是千篇一律的。话不多说先看例题：

例题

已知函数(f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)^2)有两个零点
①求a的取值范围
②设(x_1,x_2是f(x))的两个不同零点，证明：(x_1+x_2<2)

第一问是一个正常的导数问题，直接分离参数解决，与本篇文章所讲的问题无关，可以直接跳过

如果有兴趣了解的话，(h(x))的图象长这个样子，只要画出来就会发现答案是一目了然的了
$$
\begin{eqnarray*}
&&f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)^2有两个零点 \
&&\ \ \ \ \ \ \ \ =>(x-2)e^x=-a(x-1)^2有两个零点 \
①&&x=1，-e≠0，故x=1不为f(x)的零点 \
②&&x≠1\
&&a=\frac{(2-x)e^x}{(x-1)^2}=h(x) \
&&h'(x)=\frac{e^x(1-x)(x^2-4x+5)}{(x-1)^2}，x≠1 \
&&若x\ge1，则h'(x)<0，h(x)在(1,+\infty)上单调递减 \
&&\lim\limits_{x\to1+}h(x)=+\infty，\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=-\infty \
∴&&当x∈(1,+\infty)时，h(x)∈(-\infty,+\infty) \
&&同理可得，当x∈(-\infty,1)时，h(x)∈(0,+\infty) \
∴&&当且仅当a∈(0,+\infty)时,a=h(x)有两个零点\&&即f(x)有两个零点
\end{eqnarray*}
$$
第二问是典型的极值点偏移问题

该图像是(a=1)时，f(x)的图像，极值点偏移含义就是极值点不位于两零点的正中间而是偏向某一侧
$$
\begin{eqnarray*}
&&不妨设x_1<x_2\
&&f'(x)=(e^x+2a)(x-1)\
&&由第一问得，有两个零点时，a>0\
∴&&e^x+2a>0恒成立\
∴&&当x<1时，f'(x)<0；当x>1，f'(x)>0\
&&f(x)≥f(1)=-e<0\
&&不妨设x_1<x_2\
&&则有x_1<1<x_2\
&&即f(x)在(-\infty,1)单调递减，在(1,+\infty)单调递增\
&&设辅助函数F(x)=f(x)-f(2-x)=(x-2)e^x+xe^{2-x}\
&&F'(x)=(x-1)(e^x-e^{2-x})\
∵&&e^x-e^{2-x}在R上单调递增，且x=1时，e^x-e^{2-x}=1-1=0\
∴&&F'(x)≥0在R上恒成立\
∴&&F(x)在R上单调递增\
∵&&F(1)=-e+e=0\
∴&&当x<1时，f(x)<f(2-x)；当x>1时，f(x)>f(2-x)\
∵&&x_1和x_2分别为f(x)两不同零点\
∴&&f(x_1)=f(x_2)，x_1<1<x_2\
∴&&f(x_2)=f(x_1)<f(2-x_1)\
∵&&x_2>1，2-x_1>1，f(x)在(1,+\infty)单调递增\
∴&&x_2<2-x_1\
&&即x_1+x_2<2成立\
\end{eqnarray*}
$$

极值点偏移问题的特征与解题方案

特征

通过阅读上面的例题，不难看出极值点偏移问题的特征。其最典型的设题方式为(x_1+x_2>2a)（不等号符号可变），或者稍加包装的设题方式(e^{x_1}·e^{x_2}>e^{2a})之类，在题目中很容易识别出来。

解题方案

极值点偏移问题的形式千篇一律，只需要套用模板就可以解决。仔细阅读上面的解题过程，就可以总结出套路。
如果题目不是最典型的设题方式的话，先通过简单的代数变换将其变为典型模式，然后开始解题。

1. 对原函数(f(x))求导，得到原函数的单调性，正常情况下极值点为(x=a)
2. 设出辅助函数(F(x)=f(x)-f(2a-x))并求导，正常情况下会发现(F(x))是一个单调函数，有且仅有唯一零点(x=a)，并由此得到(在x<a时，f(x)<f(2a-x)；在x>a时，f(x)>f(2a-x))（不等号方向可变）
3. (x_1)与(x_2))为两零点，有(f(x_1)=f(x_2))
4. 不妨设出两零点大小关系并列出不等式(f(2a-x_1)>f(x_1)=f(x_2))（不等号方向可变）
5. 由(f(x))单调性推出(2a-x_1>x_2即x_1+x_2<2a)（不等号方向可变）得证。
   只需要记住上面五个步骤，按部就班，极值点偏移问题没有任何难度！