高中数学：复杂函数图像的草图画法（较难）

高中数学：复杂函数图像的草图画法（较难）

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/Brave_heart4pzj/article/details/136758247

函数图像是高中数学中的重要知识点，掌握函数图像的画法对于理解函数的性质和解决相关问题具有重要意义。本文将系统地介绍复杂函数图像的草图画法，包括指数函数、对数函数、幂函数的基本图像，以及带绝对值和复杂分式函数的图像画法。通过具体的案例和步骤讲解，帮助读者掌握函数图像的画法。

一、三大基本函数图像

在学习复杂函数图像的画法之前，我们首先需要掌握三大基本函数图像：指数函数、对数函数和幂函数。

二、函数图像变换规律

口诀：上加下减，左加右减

这个口诀可以帮助我们快速理解函数图像的平移规律。例如，对于函数 (y=f(x))：

• (y=f(x)+a) 表示图像向上平移 (a) 个单位
• (y=f(x)-a) 表示图像向下平移 (a) 个单位
• (y=f(x+a)) 表示图像向左平移 (a) 个单位
• (y=f(x-a)) 表示图像向右平移 (a) 个单位

指数函数图像变化规律

指数函数的图像变化规律与上述口诀一致。例如，对于函数 (y=a^x)：

• (y=a^{x+b}) 表示图像向左平移 (b) 个单位
• (y=a^{x-b}) 表示图像向右平移 (b) 个单位
• (y=a^x+c) 表示图像向上平移 (c) 个单位
• (y=a^x-c) 表示图像向下平移 (c) 个单位

带绝对值的函数图像

情况1：绝对值套住整个函数表达式

画法原则：将 (x) 轴下方的图像对称到 (x) 轴上方。

本例画法：

1. 求定义域
2. 先画出绝对值里面的指数函数图像
3. 应用“上加下减”规律
4. 将 (x) 轴下方的图像翻转到 (x) 轴上方

情况2：绝对值套住自变量 (x)

画法原则：找出0点，去绝对值，分类讨论。

本例画法：

1. 求定义域
2. 分区间讨论

复杂分式函数图像画法（较难）

画法原则：对函数式变形，向我们学过的函数形式靠拢。

本例画法：

1. 求定义域 ((x \neq 0))
2. 函数式变形
3. 分定义域区间讨论
4. 讨论区间端点的趋近值（理解为找水平和垂直渐近线）
5. 判断区间上函数的单调性
6. 得出最终草图

三、画图大致步骤汇总

1. 求定义域
2. 判断奇偶性（可能非奇非偶）
3. 应用“上加下减，左加右减”规律
4. 函数式变形（向已经学过的函数靠拢变形，非必要步骤）
5. 分区间讨论
6. 讨论区间上的单调性
7. 得出最终草图

四、例题解析

由于原文中未给出具体例题，这里提供两个典型例题供读者练习：

例题1：画出函数 (y=|2^x-1|) 的图像

解题步骤：

1. 求定义域：(x \in (-\infty, +\infty))
2. 去绝对值：当 (2^x-1 \geq 0) 时，(y=2^x-1)；当 (2^x-1 < 0) 时，(y=-(2^x-1))
3. 画出 (y=2^x-1) 的图像
4. 将 (x) 轴下方的图像翻转到 (x) 轴上方

例题2：画出函数 (y=\frac{x}{x^2+1}) 的图像

解题步骤：

1. 求定义域：(x \in (-\infty, +\infty))
2. 分析函数性质：奇函数
3. 求导数：(y'=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2})
4. 判断单调性：在 ((-1, 1)) 上单调递增，在 ((-\infty, -1)) 和 ((1, +\infty)) 上单调递减
5. 找渐近线：水平渐近线 (y=0)
6. 画出草图

通过以上例题的练习，读者可以更好地掌握复杂函数图像的画法。