正态分布的通俗理解与实际应用举例

正态分布的通俗理解与实际应用举例

近日，有消息称中南大学软件学院一名吴姓教师要求将50名学生成绩从90分改成80分，以符合“正态分布”。这个事件引发了人们对正态分布这一统计学概念的关注。究竟什么是正态分布？它与我们的生活有何关系？本文将用通俗易懂的语言为您解读正态分布的概念及其在各个领域的实际应用。

什么是正态分布？

正态分布（Normal Distribution），也被称为高斯分布，代表着概率的分布情况，是统计学中的一个重要概念。

在科学理论不甚发达的过去，早期科学家们往往先从观察事物现象开始，发现、记录并试图归纳、总结，最后抽象出背后的规律。

当一组观察数据或样本涉及到“平均”和“偏差”时，它们出现的频率往往会被描绘成下面这条曲线：

图中横轴代表着样本数值，纵轴则是某一样本数值对应的出现概率，其中这条曲线即正态分布曲线。

观察这个图形，正态曲线呈现出“钟”形，以x=μ（均数所在的位置）为中心左右对称。曲线与横轴无穷接近，合成的面积为1，代表所有样本出现的概率之和为100%。

以数学的语言描绘这条曲线，公式中包含两个参数，期望（均数）μ和标准差σ。我们也常用更简化的形式描述什么是正态分布：N(μ，σ^2)；μ代表着分布的集中趋势，横轴上离μ越接近的值，出现的概率越大；σ^2（方差）代表数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，曲线越“矮胖”。

事实上，很多变量（包括生成制造、科学实验、一部分自然界现象）的分布都接近正态分布，比如一群人的身高或脚的大小，我每天上班所需要的时间，一个班级里所有学生的语文成绩。

之所以会出现这种规律，是由于上述样本基于大量随机变量上重复“实验”，就像我每天都上班=重复（唉），而地铁有没有挤到两趟都上不去、我有没有因为玩手机而坐过站、步行的两个路口遇到了红灯还是绿灯等这些变量=随机。

其背后的理论支撑叫做中心极限定理。

回到一开始提到的成绩再来理解它：所谓正态分布，指的是一种概率分布的常见表现形式。简单说，统计某次考试成绩分布规律时，如果靠近平均成绩的得分占多数，其余成绩表现为以平均成绩为中轴，向两侧逐次降低，则称此次成绩呈正态分布。成绩正态分布是各类考试成绩统计呈现的常见状态。一般而言，如果成绩分布过于集中，可能是出卷过难或过易，这在一定程度上难以公正客观评价学生的真实水平和学习效果。

正态分布实际应用举例

正态分布说明了“一般的很多，极端的很少”的现象。这种现象生活中很常见。比如，大部分人的身高都在一个区间范围内，太高或太矮的人不多。仔细观察身边的人，可以发现非常聪明或者非常愚笨的人很少。统计全社会范围内的收入，中档次收入的人比较多，特别贫穷和特别富裕的人较少。

人们常说的二八法则（也称帕累托法则），只是换种方式来描述正态分布现象。二八法则告诉我们，20%的富人拥有世界上80%的财富；只要掌握字典中20%的文字就能理解文章80%的内容；20%的超大城市中居住了80%的人口，等等。

正态分布的特性还有其他广泛应用。我们知道，利用多次抽样可以从相对较少的数据中得出令人信服的总体结论。比如只要调研100个人，就能大致了解人类普遍的心理认知。只要抽查100件商品，就能得出这批次商品的质量结论。

这些民意调查、商品抽样，都在运用抽样样本对总体进行估计，其背后的数学原理是中心极限定理。中心极限定理从理论上证明了，无论随机变量总体呈现什么分布，只要抽样次数足够大，样本的平均值将近似服从正态分布。

也就是说，虽然每个人或者每件商品都会受到大量随机因素的影响，这些因素会对最终状态产生一定影响，但我们不必关心这些因素的细节，而只要把人或商品看成一个整体。该整体的统计规律服从正态分布。

而上述这些情况，才是真实世界中的“随机”。

正态分布在不同学科中的应用

正态分布是概率论中最重要的一种分布，是自然界最常见的一种分布。该分布由两个参数--平均值p和方差决定，概率密度函数曲线以均值为对称中线。

方差越小，分布越集中在均值附近。物理学：在测量误差分析中，经常假设误差是服从正态分布的。

此外，在量子力学中，正态分布也用来描述量子态的概率分布。工程学：在质量控制和生产过程中，工程师通常假设产品特性服从正态分布，以便进行过程控制和统计过程控制。生物学：正态分布被用来描述许多生物特征的分布，如身高、体重和智力等。

此外，在基因表达研究中，正态分布也被用来描述基因表达水平的分布。医学：正态分布被用来描述许多医学指标的分布，如血压、心率和体重指数等。此外，在药物研究中，正态分布也被用来描述药物剂量的分布和药物反应的分布。

社会学：正态分布被用来描述许多社会特征的分布，如收入和教育水平等。此外，在社会心理学中，正态分布也被用来描述人们对某个问题的态度或看法的分布。

经济学：正态分布被用来描述许多经济指标的分布，如收入和消费等。此外，在金融学中，正态分布也被用来描述股票价格和汇率的波动等。

环境科学：正态分布被用来描述环境污染物的分布，如空气和水中的污染物等。此外，在气候科学中，正态分布也被用来描述气候变量的分布，如温度和降雨量等。心理学：在心理学中，正态分布被用来描述人们的智力、性格特征等方面的分布。此外，在心理测量学中，正态分布也被用来描述心理测量量表得分的分布。

体育科学：正态分布被用来描述运动员的身体素质、运动能力等方面的分布。此外，在体育统计学中，正态分布也被用来描述比赛结果的分布和运动员成绩的分布等。

此外，正态分布也被用来描述滤波器输出信号的分布。图像处理：正态分布常用于描述图像噪声的分布。

在图像处理中，正态分布也被用来评估图像滤波和增强的效果。

地球科学：正态分布常用于描述地震、洪水、干旱等自然灾害的分布。

在地球科学中，正态分布也被用来描述气候变化和环境污染等方面的分布。

在生态学中，正态分布常用于描述生物种群的分布和数量变化。

在神经科学中，正态分布常用于描述神经元的电位分布和神经递质的浓度分布等。

在化学工程中，正态分布常用于描述化学反应、速率和物质浓度的分布。

在化学工程中，正态分布也被用来描述化学工艺过程的控制和优化。

在航空航天工程中，正态分布常用于描述飞机和航天器的性能和安全性等方面的分布。

在航空航天工程中，正态分布也被用来描述航空航天过程中的误差和不确定性的分布。

在保险业中，正态分布常用于描述保险损失的分布和保险风险的评估。

在保险业中，正态分布也被用来描述保险产品的定价和保险合同的制定等。

在人类学中，正态分布常用于研究人类身体特征的变异性，例如人类身高和体重通常服从正态分布。

在社会学中，正态分布常用于研究社会行为和态度的变异性，例如人们对某一社会问题的态度可能分布在正态曲线上。

在政治学中，正态分布常用于研究选民行为和选举结果。

在政治学中，正态分布也被用来预测选举结果。

总之，正态分布是一种非常重要的概率分布，它在各个学科中都有广泛的应用。正态分布的应用有助于研究人类行为和社会现象的变异性，并提供了一种统计方法来描述和解释这些变异性。比如对于普通人，了解正态分布的基本概念，就能区分小人酒肉朋友和真朋友，以及对自己的行为做出理性的判断。通过整体思维和个体思维的侧重点的不同，以及对正态分布的使用，可以正确面对人生中的挫折和冲突，不被七嘴八舌的表象和自身情绪迷惑。只有这样，我们才能快速做出理性的决策。

文章来源：Odaily星球日报、华章科技、甜蜜蜜的可心、中国青年报