哥德尔定理证明思路分析

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@小白创作中心

哥德尔定理证明思路分析

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https://zachary116699.github.io/2024/05/03/Godel/

哥德尔定理是20世纪最重要的数学成果之一，它彻底改变了人们对数学基础的认识。本文将带你深入了解哥德尔定理的证明思路及其深远影响。

1931年，哥德尔发表了一篇论文《论数学原理和有关系统Ⅰ的不可判定性》，其中证明了两个重要的定理：

第一不完全性定理：如果皮亚诺算术系统（下称PA）是协调的，则存在关于自然数的真命题，它在PA中既不能被证明为真，也不能被证明为否。
第二不完全性定理：如果PA是协调的，则PA的协调性在PA中是不可证的。

这两个定理现在通常被表述为：

第一定理：任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。
第二定理：如果系统S含有初等数论，当S一致时，它的一致性不可能在S内证明。

公理方法

公理方法是现代数学的基础，其核心思想是先不加证明地将某些命题当作公理或前提，然后从这些公理出发，通过逻辑推理推导出系统中所有其他的命题作为定理。这种方法在欧式几何中得到了经典的应用，仅凭借数条公设和公理，就能推导出无穷无尽的命题。

在哥德尔定理问世之前，数学界普遍认为，数学的每一分支都能找到一组适当的公理，从其出发就足以系统地推导出该研究领域中所有真命题。这种观点认为，只要将公理输入计算机，就能让计算机成为“真理产生机”。

然而，哥德尔的论文彻底反驳了这一观点，揭示了公理方法的局限性，特别是对于非负整数的性质，不可能被完全公理化。

悖论和自指

悖论是哥德尔定理证明中的关键概念。最著名的悖论之一是说谎者悖论，即“我的这句话是假的”。这个悖论展示了自指（一个陈述谈论自身）可能导致的逻辑困境。类似的悖论还有罗素悖论，它通过构造一个包含所有不包含自身的集合的集合，引发了一个无法解决的矛盾。

哥德尔的证明正是利用了这种自指的构造，在PA中构造了一个自指的命题，从而揭示了PA的局限性。

哥德尔编码

哥德尔编码是哥德尔证明中的一个创新性工具，它为每一个原始符号、每一个公式和每一个证明都指定了一个独一无二的数，这个数被称为“哥德尔数”。具体步骤如下：

为固定符号和变量指定哥德尔数：这是哥德尔编码的第一步。
为每个公式指定哥德尔数：设$P_n$为原始符号，$G(P_i)$为该原始符号的哥德尔数，$G(P_1 P_2 \cdots P_n)$为某个公式的哥德尔数，则每个公式可以用以下方式联系到一个唯一的数字：
$$
G(P_1 P_2 \cdots P_n)=p_1^{G(P_1)} p_2^{G(P_2)} \cdots p_n^{G(P_n)}
$$
其中，$p_1=2,p_2=3,p_3=5,\cdots$，$p_i$对应第i个素数。例如：
$$
G((\exists x) (x=sy))=2^8 3^4 5^{13} 7^9 11^8 13^{13} 17^5 19^7 23^{17} 29^9
$$
这个公式表达的意义是“每个自然数都有后继”，上式计算出了它对应的哥德尔数。
对每个公式序列进行编码：这一步和第二步类似。设$A_n$为一个公式，$G(A_i)$为该公式的哥德尔数，$A_1, A_2, \cdots, A_n$为某个公式序列，设$G(A_1, A_2, \cdots, A_n)$为某个公式序列的哥德尔数，则每个公式序列可以用以下方式联系到一个唯一的数字：
$$
G(A_1, A_2, \cdots, A_n)=p_1^{G(A_1)} p_2^{G(A_2)} \cdots p_n^{G(A_n)}
$$
其中，$p_1=2,p_2=3,p_3=5,\cdots$，$p_i$对应第i个素数。

通过哥德尔编码，每个公式、公式序列都得到了唯一的哥德尔数。这使得形式演算系统完全“算术化”，一旦给出一个表达式，就可以计算与之相对应的唯一的哥德尔数。同时，通过质因数分解，可以将一个哥德尔数对应的公式还原出来，例如：
$$
243000000=2^6 \times 3^5 \times 5^6
$$
对应公式 $0=0$。