数列极限证明大题解题方法：单调有界准则详解

数列极限证明大题解题方法：单调有界准则详解

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/weixin_62613321/article/details/139911861

数列极限的证明是数学分析中的一个重要内容，其中单调有界准则是最常用的证明方法之一。本文系统地介绍了如何使用单调有界准则证明数列极限的存在，并通过多个例题详细展示了具体的解题步骤和技巧。

数列极限证明大题的系统解决

1. 入手第一步：预求收敛值

在证明数列极限存在时，首先需要预求出数列的收敛值。这是因为：

1. 明确界限是什么？
2. 通过首项，明确我们要证明的单增还是单减？

例如，对于数列 (x_1 = \sqrt{2}, x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n})，可以通过以下方式求出收敛值：

[A = \sqrt{2 + A} \Rightarrow A^2 = 2 + A \Rightarrow A = 2 \text{ 或 } A = -1]

由于 (x_1 = \sqrt{2} > 0)，所以收敛值 (A = 2)。

2. 入手第二步：先证明有界，后证明单调

为什么先证明有界？因为在实际问题中，我们需要用到有界的结论，才能很好地证明出单调性。

3. 开始证明

通过做题不断掌握证明方法。例如：

• 证明有界时，可以使用数学归纳法。
• 证明单调时，可以使用做差法，将问题转化为求值域问题。

常用的不等式

在证明有界性时，以下不等式非常有用：

1. (\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2})
2. (\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}})
3. (e^x \geq x + 1)
4. (x - 1 \geq \ln x)

三角函数相关

1. (\sin x < x) (对于 (x > 0))
2. (\sin x < x < \tan x) (对于 (0 < x < \frac{\pi}{2}))
3. 当 (0 < x < \frac{\pi}{4}) 时，(x < \tan x < \frac{4}{\pi}x)
4. 当 (0 < x < \frac{\pi}{2}) 时，(\sin x > \frac{2}{\pi}x)

实战演练

例1：(x_1 = \sqrt{2}, x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n})

证明 ({x_n}) 收敛，并求极限值。

类题1：(1996) (x_1 = 10, x_{n+1} = \sqrt{6 + x_n})

证明 ({x_n}) 收敛，并求极限值。

例2：

在证明有界的过程中，我们还可以使用一些不等式。

例3：

例4：

特殊情况处理

对于 (a_{n+1} = f(a_n)) 型的数列，(a_n) 和 (a_{n+1}) 之间的关系完全是由 (f(x)) 决定的。函数 (f(x)) 的有界性和单调性会影响数列 ({a_n}) 的性质。

例如：

1. 设 (a_0 = 25, a_n = \arctan a_{n-1})（(n=1,2,\ldots)），证明 ({a_n}) 收敛，并求极限。

因为 (\arctan x) 有界，则 ({a_n}) 有界。
又因为 (\arctan x) 单调递增，所以 ({a_n}) 单调。
综上，({a_n}) 收敛，(A = \arctan A)，解得 (A = 0)。

2. 其他例题