[ 数值分析 ] 01 不动点迭代方法的几何原理

[ 数值分析 ] 01 不动点迭代方法的几何原理

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/2201_75660982/article/details/142736433

不动点迭代法是数值分析中求解方程的重要方法之一。本文通过详细的数学推导和直观的几何解释，深入浅出地阐述了为什么通过不断迭代可以收敛到两个函数的交点，即方程的解。

一、不动点迭代法介绍

初等数学中的方程都可以写作
$$
f(x) = 0 \tag{1-1}
$$
经过一些简单的改写便可以得到
$$
x = \varphi(x) \tag{1-2}
$$
如果有$x^$满足方程$(1-2)$，则称$x^$为该方程的一个不动点，那么求方程$(1-1)$的解也就是求$f(x)$的零点，便等价于求$\varphi(x)$的不动点。

我们从初始的$x_0$出发，构造迭代
$$
x_{n+1} = \varphi(x_n)
$$
也就是不断地将上一个$x$代入$\varphi(x)$中，以获得下一个$x$，这样我们就可以获得一个序列${x_n}$，如果该序列是收敛的，那么便会收敛到方程$(1-1)$的解。

二、几何意义

我本人最大的疑惑就是，为什么将上一个点不断代入到$\varphi(x)$中，所得到的收敛序列的极限一定是方程$(1-1)$的解呢？

观察上图可以知道，实际上求不动点就是在求$y=\varphi(x)$和$y=x$的交点，而不动点迭代法的步骤如下：

1. 首先将$x_0$代入$\varphi(x)$中获得一个点，以相同的$y$值对应到直线$y=x$上，由于$y=x$的横纵坐标相同，我们就可以轻松获得$x_1=\varphi(x_0)$
2. 重复上述步骤，$x$值将会不断逼近不动点（交点）

从上面的图可以看出来，实际上序列${x_n}$在以螺旋逼近的思想趋近于交点，最终数列的极限就是$\varphi(x)$的不动点。

本文原文来自CSDN