考研数学中各种积分符号的写法与含义汇总

考研数学中各种积分符号的写法与含义汇总

图 01. 莱布尼茨（Leibniz）有关积分和微分表示法的手稿，这是在互联网上可以获取到的几乎最清晰的照片：正是莱布尼茨最先发明并使用了积分符号。

在考研高等数学中，我们会接触到很多种积分符号，这些积分符号有着各自的书写方式与含义。本文汇总常见的积分符号及其含义，并在文末介绍积分符号的历史。

一重积分

一重积分的表示符号：
$$
\textcolor{springgreen}{
\int
}
$$

一重积分的变形符号：
$$
\textcolor{orange}{
\int_{a}^{b}
}
$$

Note：一重积分的几何意义是曲边梯形的面积。

二重积分

二重积分的表示符号：
$$
\textcolor{springgreen}{
\iint
}
$$

二重积分的变形符号（其中 $D$ 表示封闭的平面区域）：
$$
\textcolor{orange}{
\iint_{D}
}
$$

Note：二重积分的几何意义是曲顶柱体的体积，物理意义是平面薄片的质量。

三重积分

三重积分的表示符号：
$$
\textcolor{springgreen}{
\iiint
}
$$

三重积分的变形符号（其中 $V$ 表示封闭的三维集合体）：
$$
\textcolor{orange}{
\iiint_{V}
}
$$

Note：三重积分的物理意义是三维空间中的有界物体的质量。

曲线积分（封闭曲线）

曲线积分的表示符号：
$$
\textcolor{springgreen}{
\oint
}
$$

曲线积分的变形符号（积分曲线 $L$ 是封闭的）：
$$
\textcolor{orange}{
\oint_{L}
}
$$

曲线积分的变形符号（积分曲线 $L$ 是开放或封闭的）：
$$
\textcolor{orange}{
\int_{L}
}
$$

Note：曲线积分的物理意义是物质曲线的质量、力场做功问题。

曲面积分（封闭曲面）

曲面积分的表示符号：
$$
\textcolor{orange}{
\oiint
}
$$

曲面积分的变形符号（积分曲面 $S$ 是光滑且封闭的）：
$$
\textcolor{orange}{
\oiint_{S}
}
$$

曲线积分的变形符号（积分曲面 $S$ 是开放或封闭的）：
$$
\textcolor{orange}{
\iint_{S}
}
$$

Note：曲面积分的物理意义是物质曲面质量问题、流量问题。

拓展：积分符号的历史

积分符号 “$\int$” 最初由德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨（和英国数学家牛顿同时代）于 17 世纪末开始使用。之所以使用这个符号作为积分符号，是因为积分本身就是一种求和（拉丁语中表示“求和”含义的单词是：summa），而英文中的“长 s”写作：”ſ”——也就是说，积分符号演化自 “ſ” 这个符号。

此外，我们现在常用的积分符号的写法源于英文文献（图 02 中左起第一个），在德文文献（图 02 中左起第二个）和俄文文献（图 02 中左起第三个）中的写法则稍有区别：

图 02. 英文、德文和俄文文献中积分符号的不同写法。