多元函数微分学
多元函数微分学
多元函数微分学是高等数学的重要组成部分，它研究的是多元函数的变化规律和性质。在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。本文将系统地介绍多元函数微分学的核心概念和方法，包括方向导数、梯度、泰勒展开式、极值问题、隐函数存在定理、全微分方程等内容。
方向导数、梯度
一元函数的导数表示表示斜率。推广到多元后，一个点四面八方都有斜率，如果我们想表达这个点沿着方向上的斜率，用方向导数：
沿着哪个方向的导数最大？方向导数可以写成两个向量的数量积的形式：
从上式可以看出，方向导数沿着向量的方向最大，且最大值为
我们将方向导数最大的方向向量定义为梯度：
二元函数的二阶泰勒展开式
函数在点处的二阶泰勒展开式为：
无条件极值
无条件极值也会给一个条件，是函数的定义域。例如：求在上的极值
条件极值
求在约束条件下的极值：
注意：能将条件代入从而消掉一个变量的，直接化为一元函数更简单。
如果能将的x或y解出来的话，代入化为一元函数求极值。
如果不能解出x或y解：
第一步：建立拉格朗日方程：
第二步，分别对x,y和求偏导，得到一个方程组：
第三步，解方程组得到几组解，根据实际情况或带入原方程得到最优解
解方程组的方法:
1.消
3.观察法
4.若x,y有轮换对称性，可令，然后代入其中一方程求解
隐函数存在定理1
对于函数，根据定义可知每个x都有唯一的y与其对应，但是对于隐函数：
显然这是个圆，当x确定的时候，有可能出现两个y与之对应，这与函数的定义是矛盾的。所以隐函数的定义需要修改一下。
设函数在点的某一邻域内有连续的偏导数，且：
则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有：
首先，隐函数存在定理中，讨论隐函数是否存在，仅在某点处讨论，而不是整个定义域。
在A点的邻域内的一段弧是一个传统的函数，那么在A点的邻域内就存在隐函数。
例如下图中，在A点的邻域内是一个传统的函数，而在C点不是一段传统的函数。所以在A点的邻域内就存在隐函数，在C点的邻域内就不存在隐函数。
在中，意味着该点切线平行于x轴。拓展一下，对y求导为0是不是意味着该点切线平行于y轴?
偏导数也是一样的道理，意味着该点切线平行于y轴，就是上图中的C点。C点的邻域中一个x对应多个y了，不是传统的函数，所以C点的邻域不存在隐函数。隐函数存在定理中，条件就是用来排除C点这种情况的。
拓展到多维，也是成立的：
设函数在点的某一邻域内有连续的偏导数，且：
则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有：
隐函数存在定理2
设在点的某一邻域内有连续的偏导数，又：
在点不等于0，则方程组
在点的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续导数的函数及，它们满足条件及，并有：
驻点、拐点、极值点
驻点就是斜率为0的点，包括拐点和极值点。
拐点是凹凸性发生改变的点，在该点的左右两侧二阶导数异号。即二阶导数等于0，三阶导数不等于0的点（三阶导数为0是常函数）。
极值点有三种方法辨别：
- 左右两边导数异号。
- 导数为0，二阶导数不为0。
- 根据泰勒公式判断。
全微分方程
全微分方程其实就是多元函数的微分方程，所以我们可以对比微分方程来学习：
一元函数 多元函数
微分 dy=P(x) \mathrm{d} x \mathrm{d} u=P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y
微分方程 y^{\prime}+p(x)y=q(x) P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=0
莱布尼茨公式 \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } f ^ { \prime } ( t ) d t = f ( x ) - f \left( x _ { 0 } \right) \int _ { \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right) } ^ { ( x , y ) } P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = u ( x , y ) - u ( x_ { 0 } , y_ { 0 })
积分 \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } f ^ { \prime } ( t ) d t是定积分 \int _ { \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right) } ^ { ( x , y ) } P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y是曲线积分
全微分方程通常都是一阶的，只需要一次还原即可求解。一般有三种方法求解：
- 如果你能看出来是这个式子是什么求导的结果，那最好，这就是所谓的凑微分法。
- 直接积分是第二类曲线积分，而且天生的积分与路径无关，所以可以选一个简单的路径直接代入计算
- 用莱布尼茨公式