微积分-积分应用5.5（函数的平均值）
微积分-积分应用5.5（函数的平均值）
函数的平均值是微积分中的一个重要概念，它不仅帮助我们理解函数在某个区间上的整体行为，还在物理学、工程学等多个领域有着广泛的应用。本文将从一个实际问题出发，逐步推导出函数平均值的数学定义，并通过几个具体的例子来说明这一概念的应用。
很容易计算有限多个数字y 1 , y 2 , … , y n y_1, y_2, \dots, y_ny1 ,y2 ,…,yn 的平均值：
y ave = y 1 + y 2 + ⋯ + y n n y_{\text{ave}} = \frac{y_1 + y_2 + \cdots + y_n}{n}yave =ny1 +y2 +⋯+yn
但是，如果可以进行无限多次的温度读取，如何计算一天中的平均温度呢？图 1 显示了温度函数T ( t ) T(t)T(t)的图像，其中t tt以小时为单位，T TT以摄氏度为单位，我们猜测温度的平均值为T ave T_{\text{ave}}Tave 。
一般来说，让我们尝试计算函数y = f ( x ) y = f(x)y=f(x)在区间a ≤ x ≤ b a \leq x \leq ba≤x≤b上的平均值。我们从将区间[ a , b ] [a, b][a,b]分成n nn个等分的小区间开始，每个小区间的长度为Δ x = ( b − a ) / n \Delta x = (b - a) / nΔx=(b−a)/n。然后我们在每个连续的小区间内选择点x 1 ∗ , … , x n ∗ x_1^, \dots, x_n^x1∗ ,…,xn∗ ，并计算数值f ( x 1 ∗ ) , … , f ( x n ∗ ) f(x_1^), \dots, f(x_n^)f(x1∗ ),…,f(xn∗ )的平均值：
f ( x 1 ∗ ) + ⋯ + f ( x n ∗ ) n \frac{f(x_1^) + \cdots + f(x_n^)}{n}nf(x1∗ )+⋯+f(xn∗ )
（例如，如果f ff表示温度函数且 (n = 24)，这意味着我们每小时读取一次温度，然后取平均值。）由于Δ x = ( b − a ) / n \Delta x = (b - a) / nΔx=(b−a)/n，我们可以写出n = ( b − a ) / Δ x n = (b - a) / \Delta xn=(b−a)/Δx，于是平均值变为：
f ( x 1 ∗ ) + ⋯ + f ( x n ∗ ) b − a Δ x = 1 b − a [ f ( x 1 ∗ ) + ⋯ + f ( x n ∗ ) ] Δ x = 1 b − a [ f ( x 1 ∗ ) Δ x + ⋯ + f ( x n ∗ ) Δ x ] = 1 b − a ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) Δ x \begin{align*} \frac{f(x_1^) + \cdots + f(x_n^)}{\frac{b - a}{\Delta x}} &= \frac{1}{b - a} [f(x_1^) + \cdots + f(x_n^)] \Delta x\ &= \frac{1}{b - a} [f(x_1^)\Delta x + \cdots + f(x_n^)\Delta x] \ &= \frac{1}{b - a} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^) \Delta x\ \end{align}Δxb−a f(x1∗ )+⋯+f(xn∗ ) =b−a1 [f(x1∗ )+⋯+f(xn∗ )]Δx=b−a1 [f(x1∗ )Δx+⋯+f(xn∗ )Δx]=b−a1 i=1∑n f(xi∗ )Δx
如果我们让n nn增大，那么我们将计算大量的密集分布的值的平均值。（例如，我们可以每分钟甚至每秒钟读取温度。）极限值为
lim n → ∞ 1 b − a ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) Δ x = 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x \lim_{n \to \infty} \frac{1}{b - a} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) , dxn→∞lim b−a1 i=1∑n f(xi∗ )Δx=b−a1 ∫ab f(x)dx
这是根据定积分的定义得到的结果。
因此，我们定义函数f ff在区间[ a , b ] [a, b][a,b]上的平均值为
f ave = 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x f_{\text{ave}} = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) , dxfave =b−a1 ∫ab f(x)dx
例1求函数f ( x ) = 1 + x 2 f(x) = 1 + x^2f(x)=1+x2在区间[ − 1 , 2 ] [-1, 2][−1,2]上的平均值。
解答取a = − 1 a = -1a=−1和b = 2 b = 2b=2，我们有：
f ave = 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x = 1 2 − ( − 1 ) ∫ − 1 2 ( 1 + x 2 ) d x = 1 3 ∫ − 1 2 ( 1 + x 2 ) d x = 1 3 [ x + x 3 3 ] − 1 2 = 2 \begin{align*} f_{\text{ave}} &= \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) , dx = \frac{1}{2 - (-1)} \int_{-1}^2 (1 + x^2) , dx = \frac{1}{3} \int_{-1}^2 (1 + x^2) , dx \ &= \frac{1}{3} \left[ x + \frac{x^3}{3} \right]{-1}^2 = 2 \end{align*}fave =b−a1 ∫ab f(x)dx=2−(−1)1 ∫−12 (1+x2)dx=31 ∫−12 (1+x2)dx=31 [x+3x3 ]−12 =2
如果T ( t ) T(t)T(t)表示时刻t tt的温度，我们可能会想知道是否有某个特定时间点，此时的温度等于平均温度。对于图 1 中显示的温度函数，我们看到有两个这样的时间点——一个接近中午前，另一个接近午夜之前。一般来说，是否存在某个c cc点，使得函数f ff的值恰好等于其平均值，即f ( c ) = f ave f(c) = f{\text{ave}}f(c)=fave ？以下定理表明，对于连续函数来说，这种情况确实存在。
积分形式的均值定理如果函数f ff在区间[ a , b ] [a, b][a,b]上连续，那么存在一个c ∈ [ a , b ] c \in [a, b]c∈[a,b]，使得
f ( c ) = f ave = 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x f(c) = f_{\text{ave}} = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) , dxf(c)=fave =b−a1 ∫ab f(x)dx
即：
∫ a b f ( x ) d x = f ( c ) ⋅ ( b − a ) \int_a^b f(x) , dx = f(c) \cdot (b - a)∫ab f(x)dx=f(c)⋅(b−a)
积分形式的均值定理是微分均值定理和微积分基本定理的一个推论。
几何上，积分均值定理的解释是，对于正函数f ff，存在一个c cc值，使得以[ a , b ] [a, b][a,b]为底、f ( c ) f(c)f(c)为高的矩形的面积等于从a aa到b bb下方图形所覆盖的区域面积（如图 2所示）。
例2由于f ( x ) = 1 + x 2 f(x) = 1 + x^2f(x)=1+x2在区间[ − 1 , 2 ] [-1, 2][−1,2]上是连续的，积分形式的均值定理表明，存在一个c ∈ [ − 1 , 2 ] c \in [-1, 2]c∈[−1,2]使得
∫ − 1 2 ( 1 + x 2 ) d x = f ( c ) [ 2 − ( − 1 ) ] \int_{-1}^{2} (1 + x^2) , dx = f(c) [2 - (-1)]∫−12 (1+x2)dx=f(c)[2−(−1)]
在这个特定的例子中，我们可以明确地找到c cc。从例 1 中我们知道f ave = 2 f_{\text{ave}} = 2fave =2，因此c cc满足
f ( c ) = f ave = 2 f(c) = f_{\text{ave}} = 2f(c)=fave =2
因此：
1 + c 2 = 2 所以 c 2 = 1 1 + c^2 = 2 \quad \text{所以} \quad c^2 = 11+c2=2所以c2=1
因此，在这种情况下，存在两个满足积分均值定理的c cc值，分别是c = ± 1 c = \pm 1c=±1在区间[ − 1 , 2 ] [-1, 2][−1,2]内。
例 1 和例 2 如图 3 所示。
例3证明一辆汽车在时间区间[ t 1 , t 2 ] [t_1, t_2][t1 ,t2 ]上的平均速度与其在旅程中速度的平均值是相同的。
解答如果s ( t ) s(t)s(t)是汽车在时间t tt时的位移，根据定义，汽车在该时间区间上的平均速度为：
Δ s / Δ t = s ( t 2 ) − s ( t 1 ) t 2 − t 1 \Delta s / \Delta t = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}Δs/Δt=t2 −t1 s(t2 )−s(t1 )
另一方面，速度函数在该时间区间上的平均值为：
v ave = 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 v ( t ) d t = 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 s ′ ( t ) d t = 1 t 2 − t 1 [ s ( t 2 ) − s ( t 1 ) ] = v ave = s ( t 2 ) − s ( t 1 ) t 2 − t 1 = average velocity \begin{align*} v_{\text{ave}} &= \frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2} v(t) , dt = \frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2} s'(t) , dt\ &= \frac{1}{t_2 - t_1} [s(t_2) - s(t_1)]\ &=v_{\text{ave}} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1} = \text{average velocity} \end{align*}vave =t2 −t1 1 ∫t1 t2 v(t)dt=t2 −t1 1 ∫t1 t2 s′(t)dt=t2 −t1 1 [s(t2 )−s(t1 )]=vave =t2 −t1 s(t2 )−s(t1 ) =average velocity
这证明了平均速度与其速度的平均值相同。