利用二阶导数判断函数的凸凹性

利用二阶导数判断函数的凸凹性

函数的凸凹性是微积分中的一个重要概念，它帮助我们更深入地理解函数图像的形态。本文将详细介绍如何利用二阶导数来判断函数的凸凹性，并通过具体实例加以说明。

在利用导数求极值时，我们已经研究了函数的单调性与极值，对函数的变化情况有了一定的了解，这对描述函数的图形有很大的帮助。但是有时候我们需要进一步了解函数的凸凹性。

比如图2-44中的曲线弧 $\stackrel{⏜}{ABC}$ 整体是单调上升的，但 $\stackrel{⏜}{AB}$ 是弧段是凸的，而弧段 $\stackrel{⏜}{BC}$ 是凹的，所以不仅要考虑增减性，还需要研究曲线的弯曲方向，下面给出曲线的凹凸性的定义.

凹弧

定理 设函数 $f\left(x\right)$ ，在区间 $I$ 上连续，如果对区间 $I$ 上的任意两点 ${x}_{1}$ 、 ${x}_{2}$ 、恒有

$f\left(\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}\right)<\frac{1}{2}\left[f\left({x}_{1}\right)+f\left({x}_{2}\right)\right]$

则称 $f\left(x\right)$ 的图形 (曲线 $y=f\left(x\right)$ ) 是凹的（或凹弧） (见图2-45).

凸弧

如果对区间 $I$ 上的任意两点 ${x}_{1},{x}_{2}$ ，恒有

$f\left(\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}\right)>\frac{1}{2}\left[f\left({x}_{1}\right)+f\left({x}_{2}\right)\right]$

则称 $f\left(x\right)$ 的图形 (曲线 $y=f\left(x\right)\right)$ 是凸的 (或凸弧) (见图2-46)

从几何图形上，很容易理解图形的凸凹性。

请注意区分一阶导数和二阶导数对绘制函数的区别。比如，一阶导数为正表示函数是递增的。二阶导数再判断，递增的是凸弧还是凹弧。换句话说，不管是凸弧还是凹弧，函数都是递增的，这个大方向没有改变。

如何确定函数图形的凹凸性呢?

从以下两图可以看出，随着横坐标 $x$ 的增加，凹弧上各点处的切线斜率逐 渐增大，即 ${f}^{\prime }\left(x\right)$ 是单调增加的 (见图2-47) ；而凸弧上各点处的切线斜率 逐渐减小，即 ${f}^{\prime }\left(x\right)$ 是单调减少的（见图2-48) 对于 ${f}^{\prime }\left(x\right)$ 的增减性，可由 ${f}^{\prime }\left(x\right)$ 的导数，即 $f"\left(x\right)$ 来判定.

如果函数具有二阶导数，就可利用二阶导数的符号来确定函数图形的凹凸性.

定理 设函数 $f\left(x\right)$ 在 $I$ 上连续，在 $I$ 内具有一阶及二阶导数，则

(1) 若在 $I$ 内 ${f}^{\prime \prime }\left(x\right)>0$ ，则 $f\left(x\right)$ 在 $I$ 上的图形是凹的；

(2) 若在 $I$ 内 ${f}^{\prime \prime }\left(x\right)<0$ ，则 $f\left(x\right)$ 在 $I$ 上的图形是凸的.

例1判断曲线 $y={\mathrm{e}}^{x}$ 的凹凸性.

解 $y={\mathrm{e}}^{x}$ 在 $\left(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\right)$ 内具有二阶导数 ${y}^{\prime }={\mathrm{e}}^{x},{y}^{\prime \prime }={\mathrm{e}}^{x}>0,x\in \left(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\right)$, 因此曲线 $y={\mathrm{e}}^{x}$ 在 $\left(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\right)$ 内是凹的 (见图2-49).

例2 判断曲线 $y={x}^{3}$ 的凹凸性.

解 $y={x}^{3}$ 在 $\left(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\right)$ 内具有二阶导数， ${y}^{\prime }=3{x}^{2},{y}^{\prime \prime }=6x$.

当 $x\in \left(-\mathrm{\infty },0\right]$ 时， ${y}^{\prime \prime }<0$ ，故曲线 $y={x}^{3}$ 在 $\left(-\mathrm{\infty },0\right]$ 上是凸的，当 $x\in \left[0,+\mathrm{\infty }\right)$ 时， ${y}^{\prime \prime }>0$ ， 故曲线 $y={x}^{3}$ 在 $\left[0,+\mathrm{\infty }\right)$ 上是凹的（见图2-50）.

注 点 $\left(0,0\right)$ 为凹弧与凸弧的分界点.

连续曲线 $y=f\left(x\right)$ 上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点.

判断曲线 $y=f\left(x\right)$ 的凹凸性与求拐点的一般步骤如下.

(1) 求出 ${f}^{\prime \prime }\left(x\right)$ ；

(2) 找出方程 ${f}^{\prime \prime }\left(x\right)=0$ 的实根；

(3) ${f}^{\prime \prime }\left(x\right)=0$ 的实根将函数 $y=f\left(x\right)$ 的定义域分为若干区间，在每个区间上确定 的符号，从而确定曲线 ${f}^{\prime \prime }\left(x\right)$ 的凹凸区间；

(4) 若在 ${f}^{\prime \prime }\left(x\right)=0$ 的实根 ${x}_{0}$ 的两侧， ${f}^{\prime \prime }\left(x\right)$ 的符号相反, 则 $\left({x}_{0},f\left({x}_{0}\right)\right)$ 是曲线 $y=f\left(x\right)$ 的拐点.

例3 指出曲线 $y=3{x}^{4}-4{x}^{3}+1$ 的拐点及凹凸区间.

解

$\begin{array}{rl}& y=3{x}^{4}-4{x}^{3}+1\text{的定义域为}\left(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\right)\\ & {y}^{\prime }=12{x}^{3}-12{x}^{2}，{y}^{\prime \prime }=12\left(3{x}^{2}-2x\right)=12x\left(3x-2\right)=36x\left(x-\frac{2}{3}\right)\\ & \text{令}{y}^{\prime \prime },=0\text{得}，{x}_{1}=0\phantom{\rule{1em}{0ex}}{x}_{2}=\frac{2}{3}\end{array}$

因此，曲线 $y=3{x}^{4}-4{x}^{3}+1$ 的拐点为 $\left(0,1\right)$ 、 $\left(\frac{2}{3},\frac{11}{27}\right)$; 凹区间为 $\left(-\mathrm{\infty },0\right)$ 、 $\left(\frac{2}{3},+\mathrm{\infty }\right)$ ；凸区间为 $\left(0,\frac{2}{3}\right)$ (见图2-51).

例4证明曲线 $y={x}^{4}$ 没有拐点.

证明 $y={x}^{4}$ 的定义域为 $\left(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\right)\phantom{\rule{1em}{0ex}}{y}^{\prime }=4{x}^{3},{y}^{\prime \prime }=12{x}^{2}$

当 $x=0$ 时 ${y}^{\prime \prime }=0$ 而当 $xe 0$ 时 ${y}^{\prime \prime }>0$ ，因此曲线 $y={x}^{4}$ 在 $\left(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\right)$ 内是凹的，点 $\left(0,0\right)$ 并不是拐点 (见图2-52).

注 从本例也可看出，使 ${y}^{\prime \prime }=0$ 的点末 必是拐点。而从下例可以看出，导数不存在 的点也有可能是拐点.

例5 求曲线 $y=\sqrt[3]{x}$ 没有拐点.

解 该函数在定义区间 $\left(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\right)$ 内连续, 当 $xe 0$ 时，

${y}^{\prime }=\frac{1}{3\sqrt[3]{{x}^{2}}},{y}^{\prime \prime }=-\frac{2}{9x\sqrt[3]{{x}^{2}}}$

当 $x=0$ 时， ${y}^{\prime }、{y}^{\prime \prime }$ 都不存在，故二阶导数在 $\left(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\right)$ 内没有零点. $x=0$ 是 ${y}^{\prime \prime }$ 不存在的点，它把 $\left(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\right)$ 分成两个 $\mathrm{\infty }$ 部分区间: 在 $-\mathrm{\infty },0\right)$ 内是凸的，在 $\left(0,+\mathrm{\infty }\right)$ 这部分曲线上是凹的， 见图2-53

总结，一阶导数得到函数的增减性，二阶导数得到函数的凸凹性。

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