不等式的性质和特别注意

不等式的性质和特别注意

引用

新浪网

1.

https://m.edu.iask.sina.com.cn/jy/eRoqSzjKoj.html

不等式是数学中的一个重要概念，其性质在解题过程中有着广泛的应用。本文将详细介绍不等式的三个基本性质及其相关例题。

不等式的性质

性质1：加减同一数不改变不等号方向

如果 $a > b$，那么 $a \pm c > b \pm c$。

性质2：乘除正数不改变不等号方向

如果 $a > b$ 且 $c > 0$，那么 $ac > bc$ 或 $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$。

性质3：乘除负数改变不等号方向

如果 $a > b$ 且 $c < 0$，那么 $ac < bc$ 或 $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$。

特别注意

1. 若 $a \pm c > b \pm c$，那么 $a > b$。
2. 若 $ac > bc$ 且 $c > 0$，那么 $a > b$；若 $ac > bc$ 且 $c < 0$，那么 $a < b$。
3. 若只知 $ac > bc$，而不知 $c$ 的正负号，那么无法判断 $a$ 和 $b$ 的大小。

相关例题

设 $a$，$b$ 都是实数，且 $a < b$。下列哪个选项一定成立？
A. $a + x > b + x$
B. $-a + 1 < -b + 1$
C. $3a < 3b$
D. $\frac{a}{2} > \frac{b}{2}$

解析

由于 $a < b$，根据不等式的性质：

• A 选项：$a + x > b + x$ 不成立，因为加同一数不改变不等号方向
• B 选项：$-a + 1 < -b + 1$ 不成立，因为乘以负数会改变不等号方向
• C 选项：$3a < 3b$ 成立，因为乘以正数不改变不等号方向
• D 选项：$\frac{a}{2} > \frac{b}{2}$ 不成立，因为除以正数不改变不等号方向

因此，正确答案是 C。