累积密度函数（Cumulative Density Function，CDF）

累积密度函数（Cumulative Density Function，CDF）

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/qq_58860480/article/details/140583935

累积密度函数（CDF）是概率论和统计学中的一个重要概念，用于描述随机变量取某个值及其以下的概率分布情况。CDF给出了随机变量在不同取值范围内的累积概率，是理解概率分布的一种直观方式。

定义

对于一个随机变量 (X)，其累积密度函数 (F_X(x)) 定义为随机变量取值小于或等于 (x) 的概率，即：
[ F_X(x) = P(X \leq x) ]

性质

CDF具有以下几个重要性质：

• 非递减性：CDF是一个非递减函数，即对于任意的 (x_1 < x_2)，有 (F_X(x_1) \leq F_X(x_2))。
• 范围：CDF的值域在[0, 1]之间，即 (0 \leq F_X(x) \leq 1)。
• 边界条件：当 (x \to -\infty) 时，(F_X(x) \to 0)；当 (x \to +\infty) 时，(F_X(x) \to 1)。
• 右连续性：CDF是右连续函数，即对于任意 (x)，有 (\lim_{x \to x_0^+} F_X(x) = F_X(x_0))。

CDF的计算

离散型随机变量

对于离散型随机变量 (X)，其CDF可以通过累加概率质量函数（PMF）得到：
[ F_X(x) = \sum_{t \leq x} P(X = t) ]

连续型随机变量

对于连续型随机变量 (X)，其CDF可以通过概率密度函数（PDF）积分得到：
[ F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) , dt ]

示例

下面通过一个具体的例子来说明CDF的计算和应用。

示例1：离散型随机变量

假设有一个离散型随机变量 (X) 的取值和概率分布如下表：

CDF (F_X(x)) 的计算如下：

• ( F_X(-1) = P(X \leq -1) = 0.1 )
• ( F_X(0) = P(X \leq 0) = P(X = -1) + P(X = 0) = 0.1 + 0.2 = 0.3 )
• ( F_X(1) = P(X \leq 1) = P(X = -1) + P(X = 0) + P(X = 1) = 0.1 + 0.2 + 0.3 = 0.6 )
• ( F_X(2) = P(X \leq 2) = P(X = -1) + P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1.0 )

示例2：连续型随机变量

假设有一个连续型随机变量 (Y) 服从均匀分布 (U(a, b))，其中 (a = 0)，(b = 1)。其PDF (f_Y(y)) 为：

CDF (F_Y(y)) 的计算如下：

• 当 (y < 0) 时，(F_Y(y) = 0)
• 当 (0 \leq y \leq 1) 时，
  [ F_Y(y) = \int_{0}^{y} f_Y(t) , dt = \int_{0}^{y} 1 , dt = y ]
• 当 (y > 1) 时，(F_Y(y) = 1)

应用

CDF在统计学和概率论中有广泛应用，包括：

• 概率计算：通过CDF可以直接计算随机变量落在某个区间内的概率。
• 分位数计算：给定概率值，可以通过CDF的逆函数求解对应的分位数。
• 统计检验：CDF用于分布的拟合优度检验，例如Kolmogorov-Smirnov检验。
• 随机数生成：通过逆变换抽样法，可以利用CDF生成符合特定分布的随机数。

结论

累积密度函数（CDF）是描述随机变量概率分布的重要工具，通过它可以直观地了解随机变量在各个取值范围内的累积概率。掌握CDF的定义、性质、计算方法及其应用，对于深入理解概率分布和进行相关统计分析具有重要意义。