可靠性建模——串联模型和并联模型——系统MTBF及失效率的数学公式推导
可靠性建模——串联模型和并联模型——系统MTBF及失效率的数学公式推导
在可靠性工程中，串联模型和并联模型是最基本的系统结构模型。本文将详细介绍这两种模型的数学公式推导，包括系统平均故障间隔时间（MTBF）和失效率的计算。
1 常用的可靠性模型
1.1 串联模型
1.2 并联模型
可靠性工程师手册 第二版 P47
2 数学公式推导
2.1 串联模型数学公式推导
2.1.1 方法一：由N个事件串联的事件的成功概率 = 每个事件成功概率的乘积。
所以很容易理解如下公式
2.1.2 方法二：若干个相互独立随机变量的最小值的分布
多个单元组成的串联模型的整个产品的可靠性寿命，就相当于求多个单元的寿命（多个相互独立随机变量的）最小值的分布，Z=Min(X1, X2, X3, X4....)，由下文中的（3.2.7）即可得到系统可靠度函数公式（上文（3-1））。
串联模型 等同于 概率论中 Min(随机变量) 函数的分布。指数分布的串联，系统的失效率等于每个单元的失效率之和。
2.2 并联模型数学公式推导
2.2.1 方法一：并联模型中各单元同时失效，系统才会失效
由N个事件并联的事件的失败概率 = 每个事件失败概率的乘积，所以很容易理解如下公式
2.2.2 方法二：若干个相互独立随机变量的最大值的分布
多个单元组成的并联模型的整个产品的可靠性寿命，就相当于求多个单元的寿命（多个相互独立随机变量的）最大值的分布，并联模型系统的寿命等价于最后那个失效产品的寿命，最后那个失效产品的寿命，即求多个随机变量的最大值的分布。Z=Max(X1, X2, X3, X4....)，由下文中的（3.2.5）即可得到系统可靠度函数公式（上文（3-3））。
并联模型 等同于 概率论中 Max(随机变量) 函数的分布。服从指数分布的各单元的串联，系统不再服从指数分布。
2.2.3 并联系统的失效率公式（3-4）和MTBF（3-5）的推导
若两个元器件的失效率相等，那么MTBF=3/2λ
若失效率相等的两个系统并联，则简化为如下结果。
利用伽马函数的值
上面式子中利用了伽马函数及其性质，
根据λ(t)=f(t)/R(t)=f(t)/[1-F(t)]，公式推导见下面文章。
光波：可靠性四大常用度量时间参（函）数 及其相互关系
可求出公式(3-4）
2.2.4 并联系统的失效率公式（3-6）和MTBF（3-7）的推导
以上红色划线等式，利用下文中最大值分布的3.3.9公式直接得出，
以上蓝色划线等式，利用二项式展开，如下所示证明，然后乘以 nλe−λt，即可得到。
第一个等号是数学期望的定义，第二个等号利用了Gamma(2)=1这个性质
接着对i=0、1、2、3、。。。、n-1展开，即可得到最终答案。
根据下面的恒等式，为什么下面的等式对任何自然数n恒成立？
可见上式MTBF式子（3-7）是完全相等的。得证。
3 若干个相互独立随机变量的最大值和最小值的分布
Max函数要转换成≤形式，里面每个变量都小于；Min函数要转变成＜形式，里面每个变量都大于。
4 最大值和最小值分布例子
5 参考
可靠性工程师手册 第二版 李良巧
概率论与数理统计 [茆诗松，周纪芗 编著] 第三版 习题与解答
概率论与数理统计教程 [茆诗松，程依明，濮晓龙 编著] 第二版
概率论与数理统计教程 [茆诗松，程依明，濮晓龙 编著] 第三版
光波：可靠性四大常用度量时间参（函）数 及其相互关系
统计之心：二维随机变量最大值和最小值分布
万物皆有源：最大值最小值的概率分布
为什么下面的等式对任何自然数n恒成立？