线性代数及应用：向量方程和线性组合
线性代数及应用：向量方程和线性组合
线性代数中一个重要的概念是“线性组合”，以及它的一些基础引理，如“向量方程”。本文将从两个方面入手，探讨向量方程在概念铺垫上的重要性。
从方程组到向量方程
我们先来看一个最常见不过的方程组：
$$
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \
\vdots \
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m
\end{cases}
$$
如果我们尝试将每一个$x_i$提取出来，可以得到如下形式：
$$
x_1\begin{pmatrix} a_{11} \ a_{21} \ \vdots \ a_{m1} \end{pmatrix} + x_2\begin{pmatrix} a_{12} \ a_{22} \ \vdots \ a_{m2} \end{pmatrix} + \cdots + x_n\begin{pmatrix} a_{1n} \ a_{2n} \ \vdots \ a_{mn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ \vdots \ b_m \end{pmatrix}
$$
如果我们把
$$
\begin{pmatrix} a_{11} \ a_{21} \ \vdots \ a_{m1} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a_{12} \ a_{22} \ \vdots \ a_{m2} \end{pmatrix}, \ldots, \begin{pmatrix} a_{1n} \ a_{2n} \ \vdots \ a_{mn} \end{pmatrix}
$$
分别看作向量$C_1, C_2, \ldots, C_n$，将
$$
\begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ \vdots \ b_m \end{pmatrix}
$$
看作向量$b$，那么上面的式子就可以写成：
$$
x_1C_1 + x_2C_2 + \cdots + x_nC_n = b
$$
这就是一个典型的线性组合。所谓的向量方程，其实就是用向量的方法来表示一组有序的数。划重点，有序的数。
向量的基本概念
我们在空间这个概念中，有着大家熟知的一维、二维和三维。下面我们由二维空间来引入，看一下简单的向量方程。
我们把仅含有一列的矩阵称之为列矩阵，也叫向量，例如：
$$
\begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix}
$$
其中$x_1, x_2$可以是任意实数，也可以是复数。所有两个元素的列矩阵，也就是向量的集合，我们称之为$\mathbb{R}^2$，是指向量中的元素是实数，而它的指数2其实是指的每个向量包含两个元素。
向量的基本运算
向量加法
前面的向量
$$
\begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix}
$$
和向量
$$
\begin{pmatrix} y_1 \ y_2 \end{pmatrix}
$$
相加，其实就是他们对应元素的和分别相加，我们把结果叫做
$$
\begin{pmatrix} x_1 + y_1 \ x_2 + y_2 \end{pmatrix}
$$
数乘
对于数乘，也是同样的道理：假设我们给定向量
$$
\begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix}
$$
和实数$c$，则$c$和
$$
\begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix}
$$
相乘则叫做数乘，也就是标量乘法。我们将结果叫
$$
\begin{pmatrix} cx_1 \ cx_2 \end{pmatrix}
$$
值得注意的是，我们有时又会把向量
$$
\begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix}
$$
写成$(x_1, x_2)$，也就是我们高中熟悉的方式，所以这俩其实没多大区别。有区别的是
$$
\begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix} \quad \text{和} \quad (x_1, x_2)
$$
前者是一个2行1列的列矩阵，后者是一个1行2列的行矩阵，他们俩可不一样，因为维度不同。
向量的几何表示
在我们熟悉的平面直角坐标系中，平面上的每个点都是由实数的有序对来表示和确定的，这个很容易理解，从初中我们刚开始接触到坐标系时就明白了，在由$x$轴和$y$轴组合而成的平面上，有序实数对$(x,y)$便表示了某个点的坐标，那么再结合向量的定义，向量
$$
\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}
$$
就表示了一个由坐标原点$(0,0)$指向$(x,y)$方向的一个向量，所以我们可以把几何点和列向量
$$
\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}
$$
等同，这样
$$
\mathbb{R}^2
$$
也就表示了平面上所有点的集合。
类似的，我们所知道的平行四边形法则也对其奏效。
$$
\begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \ y_2 \end{pmatrix}
$$
的几何表示，对应于以$(0,0)$、$(x_1,x_2)$、$(y_1,y_2)$为顶点的平行四边形的第四个顶点。
三维空间中的向量
这个向量其实就是一个3行1列的矩阵，有三个元素，按照上文对$\mathbb{R}^2$的解释，
$$
\mathbb{R}^3
$$
就意味着这个列矩阵有三个实数，表示的是三维空间坐标中的点。
由
$$
\mathbb{R}^3
$$
,我们也可以将
$$
\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}
$$
看作如下：
多出来的$z$，想必大家都很熟悉，那就是三维空间坐标系中的竖轴。
那我们再将这个
$$
\mathbb{R}^3
$$
模型代入前面讲的线性组合的例子中，大家会发现，诶~不是说有三个元素吗？为什么$x$的个数还是2？
关于这个问题，我们来看看这个例子抽象出的线性等式：
$$
x_1\begin{pmatrix} a_{11} \ a_{21} \end{pmatrix} + x_2\begin{pmatrix} a_{12} \ a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \end{pmatrix}
$$
在这个式子中也没有
$$
\begin{pmatrix} a_{13} \ a_{23} \end{pmatrix}
$$
的影子，那该如何是好呢？
如果我们把式子写成
$$
x_1\begin{pmatrix} a_{11} \ a_{21} \ 0 \end{pmatrix} + x_2\begin{pmatrix} a_{12} \ a_{22} \ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ 0 \end{pmatrix}
$$
大家看看，是不是就有
$$
\begin{pmatrix} a_{13} \ a_{23} \end{pmatrix}
$$
啦！
所以我们将线性组合的定义抽象出来：
给定
$$
\mathbb{R}^n
$$
中向量
$$
v_1, v_2, \ldots, v_n
$$
和标量
$$
c_1, c_2, \ldots, c_n
$$
，向量
$$
c_1v_1 + c_2v_2 + \cdots + c_nv_n
$$
称为向量
$$
v_1, v_2, \ldots, v_n
$$
以向量
$$
c_1, c_2, \ldots, c_n
$$
为权的线性组合。这里的权，指的是权重，可以理解为向量前面的系数常数。
前面所讲的向量方程，是为了更好的理解在几何空间中的线性代数，而能否存在权值使得向量
$$
b
$$
等于
$$
c_1v_1 + c_2v_2 + \cdots + c_nv_n
$$
才是我们研究的目的。
如果有权值，那么这个线性组合就是存在的，向量方程也是有解的。
就拿我们最开始的例子，最后解出来的矩阵是：
$$
\begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix}
$$
由上一节我们所讲的线性方程组的解集不难看出：
$$
x_1 = \frac{b_1 - a_{12}x_2}{a_{11}}, \quad x_2 = \frac{b_2 - a_{21}x_1}{a_{22}}
$$
那么我们求出的这个解集其实就是该线性组合的权值。
我们不难发现，
$$
\text{向量方程} \quad x_1C_1 + x_2C_2 + \cdots + x_nC_n = b
$$
和增广矩阵
$$
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{pmatrix}
$$
具有相同的解集。特别的，当该增广矩阵成立时，它的解集可以作为权值使得$b$能表示为
$$
C_1, C_2, \ldots, C_n
$$
的线性组合。