九点圆定理的两种证明方法

九点圆定理的两种证明方法

九点圆定理：任意三角形三高线的垂足、各边中点、各顶点与垂心连线的中点，这九个点共圆，这个圆通常称为三角形的九点圆，也称为三角形的费尔巴哈圆或欧拉圆。如下图所示，设△ABC三条高AD、BE、CF的垂足分别为D、E、F，三边AB、BC、CA的中点分别为G、H、I，垂心为J，JA、JB、JC的中点分别为K、L、M，则D、E、F、G、H、I、K、L、M九点共圆。

证法一：

如下图所示，连接KL、LH、HI、IK

由题意知KL//AB//HI

KL=1/2AB=HI

∴四边形KLHI为平行四边形

又∵CF⊥AB

∴四边形KLHI为长方形

∴K、L、H、I四点共圆，圆心O为KH与LI的交点

同理，四边形GLMI为长方形

∴K、L、H、I、G、M六点共圆，GM、LI、KH均为直径

∵∠KDH=∠IEL=∠GFM=90°

∴D、E、F也在圆O上

∴D、E、F、G、H、I、K、L、M九点共圆

证法二：

设△ABC的外心为O，取OJ的中点记为N，连接AO，以N为圆心，1/2AO为半径作圆N，如下图所示

∵NK//AO，NK=1/2AO

∴K在圆N上

同理M、L也在圆N上

延长AO交圆O于P点，连接PB、PC、PJ

∴∠ABP=∠ACP=90°

而∠BPC+∠BAC=180°，∠BJC+∠EJC=180°

∴四边形JBPC为平行四边形

∴H为PJ的中点

连接OH、NH，OH为△APJ的中位线

∴OH//AJ，OH=1/2AJ

∴OH//JK，OH=JK

∴∠HON=∠KJN

又有ON=JN

∴△HON≌△KJN，NH=NK，且K、N、H共线

∴H在圆N上

同理I、G也在圆N上

∴KH、GM、LI都是圆N的直径

而∠KDH=∠IEL=∠GFM=90°

∴D、E、F也在圆N上

∴D、E、F、G、H、I、K、L、M九点共圆