使用概率分析与指示器随机变量解决生日悖论问题及C代码示例

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作者:

@小白创作中心

使用概率分析与指示器随机变量解决生日悖论问题及C代码示例

引用

CSDN

https://m.blog.csdn.net/lzyzuixin/article/details/136923925

生日悖论是概率论中的一个经典问题，它揭示了一个令人惊讶的现象：在一个随机选取的人群中，即使人数不多，至少存在两个人生日相同的概率也会比人们直观感受的要高得多。本文将通过概率分析和指示器随机变量的方法，深入探讨生日悖论问题，并给出C语言的实现代码。

一、引言

在日常生活中，我们经常会遇到一些与概率相关的问题，其中生日悖论就是一个非常有趣且典型的例子。生日悖论指的是在一个随机选取的人群中，至少存在两个人生日相同的概率会随着人数的增加而迅速增长，即使当人数相对较少时，这个概率也会比人们直观感受的要高得多。这个现象之所以被称为“悖论”，是因为它与人们的直觉相悖，许多人会错误地认为需要很多人才能有较高的概率出现生日相同的情况。

本文将通过概率分析和指示器随机变量的方法，深入探讨生日悖论问题，并揭示其背后的数学原理。

二、生日悖论的概率分析

要理解生日悖论，我们首先需要计算在给定人数下至少存在两个人生日相同的概率。设随机选取的n个人中，每个人的生日是独立的，并且一年有365天（为简化计算，我们忽略闰年）。

计算所有人生日都不同的概率

首先，我们计算n个人生日都不同的概率。第一个人的生日可以是365天中的任意一天，概率为1；第二个人的生日与第一个人不同的概率为364/365（因为第一个人的生日已经占据了一天）；第三个人的生日与前两个人都不同的概率为363/365，以此类推。

因此，n个人生日都不同的概率为：

$$
P(\text{不同}) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \cdots \times \frac{365-n+1}{365}
$$

则至少有两个人生日相同的概率为：

$$
P(\text{相同}) = 1 - P(\text{不同})
$$

三、指示器随机变量解决生日悖论问题

指示器随机变量（Indicator Random Variable）是一种特殊的随机变量，其值只能是0或1。我们可以定义一个指示器随机变量(X_{ij})，表示第i个人和第j个人的生日是否相同：

$$
X_{ij} =
\begin{cases}
1, & \text{如果第i个人和第j个人生日相同} \
0, & \text{否则}
\end{cases}
$$

则至少有两个人生日相同的概率可以表示为：

$$
P(\text{相同}) = P\left(\bigcup_{1 \leq i < j \leq n} X_{ij} = 1\right)
$$

四、C代码实现

下面是一个简单的C语言程序，用于计算不同人数下至少有两个人生日相同的概率：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double birthday_paradox(int n) {
    double prob_diff = 1.0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        prob_diff *= (365 - i + 1) / 365.0;
    }
    return 1 - prob_diff;
}

int main() {
    for (int n = 1; n <= 100; n++) {
        printf("人数: %d, 概率: %.4f\n", n, birthday_paradox(n));
    }
    return 0;
}

运行上述程序，可以得到不同人数下至少有两个人生日相同的概率。例如：