利用几何意义解决数学问题
利用几何意义解决数学问题
在数学解题中，将代数问题转化为几何问题是一种非常有效的解题策略。本文将介绍三种常见的数学表达式的几何意义，并通过具体例题展示其应用。
1. 比式的几何意义
形如 (\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}) 的分式，可以将其视为两点 ((x_1, y_1)) 和 ((x_2, y_2)) 之间连线的斜率。
例题：求解函数 (f(x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}) 的值域。
我们可以将其理解为两点 ((0, 0)) 和 ((x, \sqrt{1-x^2})) 之间连线的斜率。而 ((x, \sqrt{1-x^2})) 表示的是单位圆 (x^2 + y^2 = 1) 上的一个点。
示意图
如图所示，点 ((0, 0))，另外一个点在单位圆上运动，随着这个点的运动，我们会有这条蓝色的直线的斜率发生变化，显然在直线与圆相切的时候，斜率会取到最大值与最小值。因此我们只需要计算直线与圆相切的情况即可。
不妨假设蓝色直线方程为：(y = kx)，即 (kx - y = 0)。直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于半径 (1)。我们使用点到直线的距离公式：
[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}]
其中 (A = k), (B = -1), (C = 0), ((x_0, y_0) = (0, 0))，代入得：
[1 = \frac{|k \cdot 0 - 1 \cdot 0|}{\sqrt{k^2 + 1}}]
解得 (k = \pm 1)，从而原函数的值域为 ([-1, 1])。
2. 根号下平方和的几何意义
形如 (\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}) 的表达式，可以将其视为两点 ((x_1, y_1)) 和 ((x_2, y_2)) 之间的距离。
例题：求二元函数 (f(x, y) = \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} + \sqrt{(x+1)^2 + (y+1)^2}) 的最小值。
解：此题目具有平方和的形式，因此我们可以考虑记 (d = \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} + \sqrt{(x+1)^2 + (y+1)^2}) 表示两点之间的距离，而他们可以理解成两个函数 (y = x) 和 (y = -x) 上的点。
图示
我们知道，在 (y = x) 的某点切线斜率等于直线 (y = -x) 的斜率时，那么这个点到直线的距离最短。
求导,令 (y' = 1)，得到 (x = 1)，(y = 1)，也就是说，曲线上距离直线最近的一点是 ((1, 1))。
那么我们根据点到直线的距离公式计算 (d) 的最小值是：
[d_{min} = \frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \sqrt{2}]
所以原本的二元函数 (f(x, y)) 的最小值是 (\sqrt{2})。
3. 线性表达式的几何意义
形如 (ax + by + c) 的线性表达式，可以将其假设为 (y = mx + n)，其中 (m = -\frac{a}{b})，(n = -\frac{c}{b})，得到 (n) 是一个与斜率有关的变量。此类题目常见于线性规划。
例题：已知 (x, y) 满足 (x^2 + y^2 = 1)，求 (x + y) 的取值范围。
解答：不妨假设 (x + y = k)，也就是 (y = -x + k)，那么 (k) 就可以视为一条斜率为 (-1)，并且与曲线 (x^2 + y^2 = 1) 相交的直线的纵截距。
图示
如图所示，绿色直线斜率为 (-1)，当它在上下平移的过程中，截距发生了变化，显然相切的时候斜率取到最大最小值。
同样利用点到直线的距离公式，计算圆心到直线的距离等于半径，得到相切时候的 (k) 值为 (\pm \sqrt{2})。因此得到 (x + y) 的取值范围为 ([- \sqrt{2}, \sqrt{2}])。