函数凹凸性与琴生不等式

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@小白创作中心

函数凹凸性与琴生不等式

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来源

https://www.bilibili.com/opus/990170247283605507

琴生不等式是数学分析中的一个重要工具，广泛应用于不等式的证明和最优化问题的求解。本文将从函数凹凸性的基本定义出发，详细介绍琴生不等式的来源、性质及其在实际问题中的应用。

函数凹凸性的定义

设函数 $y=f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有定义，若对 $(a, b)$ 内任意两点 $x_1$ 与 $x_2$，及任意实数 $\lambda_1$ 与 $\lambda_2$（$\lambda_1 > 0$，$\lambda_2 > 0$ 且 $\lambda_1 + \lambda_2 = 1$）恒有：

$$f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) \leq \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2) \quad \text{或} \quad f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$$

则称曲线 $y=f(x)$ 在 $(a, b)$ 内是下凸的。

同理，若：

$$f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) \geq \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2) \quad \text{或} \quad f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \geq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$$

则称曲线 $y=f(x)$ 在 $(a, b)$ 内是上凸的。

为叙述方便，我们约定“上凸为凸，下凸为凹”。

显然，第一个式子是第二个式子的加权形式，而运用第二个式子可以更好地在曲线上看出函数在某一区间的凹凸性，如图：

曲线 $y=e^x$ 中任取两点 $x_1$，$x_2$，连接两点作该曲线的割线，再取 $x_1$、$x_2$ 中点 $(x_1+x_2)/2$，作平行于 $y$ 轴的垂线与曲线、割线相交，发现割线中点值要大于曲线中点值，由此得出 $y=e^x$ 在 $(x_1，x_2)$ 处下凹的结论。

函数与其反函数的凹凸性关系

有意思的是，一般来说，若 $f(x)$ 的反函数 $f^{-1}(x)$ 存在，那么 $f(x)$ 与 $f^{-1}(x)$ 在同一区间内的凹凸性是相同或相反的（取决于函数单调性），例如 $y=\ln x$ 与刚刚提到的 $y=e^x$ 在 $x>0$ 时的凹凸性就是相反的，我们知道曲线 $y=e^x$ 是下凹的而曲线 $y=\ln x$ 是上凸的（同样的方法作图可得），如何证明这一性质？

假设 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上凸且单调递增，则有：

$$f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) \geq \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2)，(\lambda_1、\lambda_2 > 0 \text{ 且 } \lambda_1 + \lambda_2 = 1)$$

设 $f^{-1}(x)$ 为 $f(x)$ 的反函数，那么由 $y_1=f(x_1)$，$y_2=f(x_2)$ 得：

$$x_1=f^{-1}(y_1)，x_2=f^{-1}(y_2)$$

对于上式 $f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) \geq \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2)$

用 $f^{-1}(y_1)$ 与 $f^{-1}(y_1)$ 分别替换 $x_1$、$x_2$

得：

$$f(\lambda_1 f^{-1}(y_1) + \lambda_2 f^{-1}(y_2)) \geq \lambda_1 f(f^{-1}(y_1)) + \lambda_2 f(f^{-1}(y_2))$$

两边同时取反函数 $f^{-1}$，这里因为原函数与反函数单调性相同（易证）且都是单调递增，所以不等号方向不变，得：

$$\lambda_1 f^{-1}(y_1) + \lambda_2 f^{-1}(y_2) \geq f^{-1}(\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2)$$

由此得到反函数 $f^{-1}(x)$ 在区间 $I$ 上是凹函数，与原函数凹凸性相反。

相反地，若函数 $y=f(x)$ 在 $I$ 上上凸且单调递减，则反函数与原函数凹凸性相同。