圆与正多边形

圆与正多边形

圆与正多边形

一、圆的内接正多边形与外切正多边形

各条边相等，各个角也相等的凸多边形，叫做正多边形。正多边形按它的边数（或角数）分为正三角形（即等边三角形），正四边形（即正方形），正五边形、正六边形……

定理：如果把圆分成 $n$ 等分，那么，顺次连结各分点所得的多边形是圆的内接正 $n$ 边形；经过各分点作圆的切线，所组成的多边形是圆的外切正 $n$ 边形。

已知： $A_1, A_2, A_3, \dots, A_n$ 为 $n$ 等分某圆周的分点，过 $A_1, A_2, A_3, \dots, A_n$ 作圆的切线交成 $n$ 边形 $A_1' A_2' A_3' \cdots A_n'$。

求证： $n$ 边形 $A_1 A_2 A_3 \cdots A_n$ 和 $A_1' A_2' A_3' \cdots A_n'$ 都是正多边形。

证明：
由于 $A_1, A_2, A_3, \dots, A_n$ 是圆的 $n$ 个等分点，
$$
\therefore \quad \overset{\frown}{A_1 A_2} = \overset{\frown}{A_2 A_3} = \cdots = \overset{\frown}{A_n A_1}, \quad \overline{A_1 A_2} = \overline{A_2 A_3} = \cdots = \overline{A_n A_1}
$$
又 $\because \angle A_1, \angle A_2, \angle A_3, \dots, \angle A_n$ 的度数都等于 $\overset{\frown}{A_1 A_2}$ 的度数的 $(n-2)$ 倍的一半。
$$
\therefore \quad \angle A_1 = \angle A_2 = \angle A_3 = \cdots = \angle A_n, \quad A_1 A_2 A_3 \cdots A_n \text{ 是正 } n \text{ 边形。}
$$
由于在 $\triangle A_1' A_1 A_2, \triangle A_2' A_2 A_3, \dots, \triangle A_n' A_n A_1$ 中, $\overline{A_1 A_2} = \overline{A_2 A_3} = \cdots =$
$$
\overline{A_n A_1},
$$
且
$$
\begin{array}{c}
\angle A_1' A_1 A_2 = \angle A_1' A_2 A_1 \
= \angle A_2' A_2 A_3 = \angle A_2' A_3 A_2 \quad \text{(弦切角定理及其推论)} \
= \cdots = \angle A_n' A_n A_1 = \angle A_n' A_1 A_n \
\therefore \triangle A_1' A_1 A_2 \cong \triangle A_2' A_2 A_3 \cong \cdots \cong \triangle A_n' A_n A_1
\end{array}
$$
因此:
$$
\begin{array}{rl}
\angle A_1' & = \angle A_2' = \angle A_3' = \cdots = \angle A_n' \
\overline{A_1' A_2'} & = \overline{A_2' A_3'} = \cdots = \overline{A_n' A_1'}
\end{array}
$$
$$
\therefore \quad A_1' A_2' A_3' \cdots A_n' \text{ 是正多边形。}
$$

根据上述定理，我们只要把圆 $n$ 等分就可作出圆的内接正 $n$ 边形了，但能否只用直尺圆规将一个圆 $n$ 等分呢？这个问题并不简单，事实上有的是不可能的。下面我们举例给出圆内接正六边形、正三角形、正方形的作法。

例 4.25 求作圆内接正六边形

已知： $\odot O$。

求作： $\odot O$ 的内接正六边形。

作法

1. 作直径 $\overline{AD}$。
2. 分别以 $A、D$ 为圆心, 以 $\odot O$ 的半径为半径画弧, 分别交 $\odot O$ 于 $B、F$ 、 $C、E$ 四点
3. 作 $\overline{AB}、\overline{BC}、\overline{CD}、\overline{EF}、\overline{FA}$, 则 $ABCDEF$ 就是 $\odot O$ 的内接正六边形。

证明：由作法可知, $\overline{AB}=\overline{OA}=\overline{OB}$,
$$
\therefore \triangle OAB \text{ 是等边三角形. } \angle AOB=60^\circ.
$$
同理: $\angle COD=60^\circ$,
$$
\therefore \quad \angle BOC=180^\circ-\angle AOB-\angle COD=60^\circ.
$$
同理: $\angle EOF=\angle DOE=\angle AOF=60^\circ$,
$$
\therefore \overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DE}=\overline{EF}=\overline{EA}, \quad ABCDEF \text{ 是 } \odot O \text{ 的内接正六边形 (本节定理).}
$$

例 4.26 求作圆内接正三角形

已知： $\odot O$。

求作： $\odot O$ 的内接正三角形。

作法

1. 作直径 $\overline{AD}$。
2. 以 $D$ 为圆心, 以 $\odot O$ 的半径为半径作弧交 $\odot O$ 于 $B、C$ 两点。
3. 作 $\overline{AB}、\overline{BC}、\overline{CA}$, 则 $\triangle ABC$ 就是 $\odot O$ 的正三角形。

证明：由作法可知, $\overline{BD}=\overline{OB}=\overline{OD}$,
$$
\therefore \triangle OBD \text{ 是等边三角形. } \angle BOD=60^\circ.
$$
同理: $\angle COD=60^\circ$。
$$
\begin{array}{ll}
\therefore & \angle AOB=\angle AOC=180^\circ-60^\circ=120^\circ. \
\therefore & \angle AOB=\angle BOC=\angle AOC, \quad \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC} \
\therefore & \triangle ABC \text{ 为 } \odot O \text{ 的内接正三角形 (本节定理)}.
\end{array}
$$

例 4.27 求作 $\odot O$ 的内接正方形

已知： $\odot O$。

求作： $\odot O$ 的内接正方形。

作法

1. 作直径 $\overline{AC}、\overline{BD}$, 使 $\overline{AC} \perp \overline{BD}$。
2. 作 $\overline{AB}、\overline{BC}、\overline{CD}、\overline{DA}$, 则 $ABCD$ 就是 $\odot O$ 的内接正方形。

证明： $\because \quad AC$ 和 $BD$ 垂直于 $O$ 点,
$$
\therefore \quad \angle AOB=\angle BOC=\angle COD=\angle DOA, \quad \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DA}
$$
$$
\therefore ABCD \text{ 为 } \odot O \text{ 的内接正方形 (本节定理).}
$$

作出了圆的内接正方形 $ACEG$ 以后，再分别作直径垂直于每一边, 就可以作出圆内接正八边形,一般只要我们作出了圆内接正 $n$ 边形, 再分别作直径垂直各边，就很容易作出圆内接正 $2n$ 边形。

如果一个正 $n$ 边形不容易或者不可能用圆规和直尺作出. 我们可用量角器近似地作出一个圆心角等于 $\frac{360^\circ}{n}$, 这个圆心角所对的弧就约是整个圆周的 $\frac{1}{n}$, 所对的弦就约是圆内接正 $n$ 边形的一边，以这条弦为半径，从圆上一点起在圆上依次截取，就可以近似地把圆分成 $n$ 个等分，依次连结各分点就可以得到所求的圆内接正 $n$ 边形。实际上, 用这种方法作图也就可以了。