李群与李代数基础
李群与李代数基础
前言
在做SLAM研究或者机器人控制的时候，会涉及到对旋转矩阵求导的问题。这时候需要使用矩阵李群的知识，将旋转或者变换等矩阵李群形式，映射到李代数上求解。本文主要涉及两个特殊矩阵李群：特殊正交群（special orthogonal group）SO(3），表示旋转；特殊欧几里得群（special Euclidean group）SE(3），表示位姿。
1 群的定义
群（Group）是一个集合加上一种运算所构成的代数结构。该运算将两个元素a和b组成另外一个元素，记为a·b或者ab。记集合为G，运算为· ，则当满足一下四个性质的时候，称(G, •)为一个群。
（1）封闭性（closure）：任意a，b属于G，有a·b仍然属于G;
（2）结合性（associativity）：任意a，b，c属于G，有(a·b)·c = a·(b·c);
（3）单位元（幺元）（identity）：存在a0属于G，对任意b属于G，均有a0·b = b·a0= b;
（4）逆元（invertibility）：任意a属于G，存在a-1属于G，使得a·a-1= a0 。
2 特殊正交群和特殊欧几里得群
特殊正交群：
特殊欧几里得群：
李群：
李群是一个微分流形，群上的操作是光滑的。
矩阵李群的元素是矩阵，群上的运算是矩阵乘法，元素的逆即矩阵的逆。
SO(3)和SE(3)都是李群，但是只对乘法封闭，对加法不封闭，不适合做微分、求导运算。
3 李代数
3.1 李代数定义
对于任意一个李群，都存在一个李代数与之对应。李代数是一种位于向量空间的代数结构。李代数包含一个集合V，一个数域F和一个二元运算[ , ]。如果它们满足一下四条性质（封闭性、双线性、自反性、雅克比等价），就称(V, F, [ , ]) 为一个李代数。
（1）封闭性（closure）：[X,Y]属于V
（2）双线性（bilinearity）：[aX+bY,Z] = a[X,Z]+b[Y,Z], [Z, aX+bY]= a[Z,X]+b[Z,Y]
（3）自反性（alternating）：[X, X] =0
（4）雅克比等价（Jacobi identity）：[X, [Y,Z]] + [Z, [X,Y]] +[Y, [Z,X]] =0
3.2 李代数的引出过程
注意反对称符号：
[]^ 代表向量转为反对称矩阵
[]V代表反对称矩阵转为向量
3.3 旋转和变换的李代数so(3)和se(3)
与SO(3)对应的李代数是so(3)：
与SE(3)对应的李代数是se(3):
4 指数映射和对数映射
4.1 指数映射
指数映射是从李代数映射到李群的一种方式。为了定义矩阵指数运算，需要用到泰勒展开式。
令，关于有如下性质：
关于进行泰勒展开：
即罗德里格斯公式。这说明so(3)的物理意义就是旋转向量。
对于se(3)和SE(3)，也能得到类似的指数映射关系。
4.2 对数映射
同理，给定旋转矩阵（李群元素），也能求出对应的李代数。
实际中可以采用下面的公式来求解。
本文的内容参考了《state estimation for robotics》，以及高博（半闲居士）的SLAM公开课。