牛顿万有引力定律详解

牛顿万有引力定律详解

牛顿万有引力定律是物理学中的一个基本定律，描述了任意两个质点之间都存在一种相互吸引的力，这种力称为万有引力。该定律由艾萨克·牛顿在1687年于《自然哲学的数学原理》中首次提出，是经典力学中的基础之一，对天体物理学、航天工程等领域产生了深远影响。

牛顿万有引力定律的内容

牛顿万有引力定律可以用以下数学公式表示：

$$F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$$

其中：

• $F$ 表示两个质点之间的万有引力，单位为牛顿（N）。
• $m_1$ 和 $m_2$ 分别表示两个质点的质量，单位为千克（kg）。
• $r$ 表示两个质点之间的距离，单位为米（m）。
• $G$ 表示万有引力常数，单位为米$^3$千克$^{-1}$秒$^{-2}$。

万有引力常数 $G$ 的值约为：

$$G=6.674\times10^{-11}\text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}$$

牛顿万有引力定律的推导

牛顿万有引力定律的推导基于牛顿的三大运动定律。在此，我们简要回顾一下牛顿的第三运动定律：

牛顿第三运动定律：任何两个物体之间都存在一种相互作用力，这种力的大小相等、方向相反。

假设地球为一个质点，地面上有一个物体（质量为 $m$），地球的质量为 $M$。根据牛顿第三运动定律，地球对物体的引力大小等于物体对地球的引力大小，即：

$$F_{地-物}=F_{物-地}$$

根据牛顿第二运动定律，物体的加速度 $a$ 与作用在物体上的力 $F$ 成正比，与物体的质量 $m$ 成反比，即：

$$F=ma$$

将地球和物体的质量代入上式，得到：

$$F_{地-物}=Ma$$
$$F_{物-地}=ma$$

由于 $F_{地-物}=F_{物-地}$，可以得到：

$$Ma=ma$$
$$a=\frac{GM}{r^2}$$

根据圆周运动的向心加速度公式：

$$a=\frac{v^2}{r}$$

将 $v^2$ 代入上式，得到：

$$\frac{v^2}{r}=\frac{GM}{r^2}$$
$$v^2=\frac{GM}{r}$$

根据牛顿第二运动定律，物体的动能 $E_k$ 与物体的质量和速度的平方成正比，即：

$$E_k=\frac{1}{2}mv^2$$

将 $v^2$ 代入上式，得到：

$$E_k=\frac{1}{2}m\frac{GM}{r}$$

根据引力势能的定义，物体在距离 $r$ 处的引力势能 $E_p$ 与物体的质量、地球的质量以及距离的关系为：

$$E_p=-\frac{GMm}{r}$$

将 $E_k$ 和 $E_p$ 相加，得到物体在距离 $r$ 处的总机械能 $E$：

$$E=E_k+E_p$$
$$E=\frac{1}{2}m\frac{GM}{r}-\frac{GMm}{r}$$
$$E=-\frac{GMm}{2r}$$

例题及解题方法

例题1：计算两个质点之间的万有引力

已知两个质点的质量分别为 $m_1=5$ 和 $m_2=10$，它们之间的距离为 $r=10$。求它们之间的万有引力 $F$。

解题方法：直接代入牛顿万有引力定律公式：

$$F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$$
$$F=6.674\times10^{-11}\times\frac{5\times10}{10^2}$$
$$F=3.337\times10^{-12}\text{N}$$

例题2：计算两个星球之间的引力常数

已知两个星球的质量分别为 $M_1=1$ 和 $M_2=1$，它们之间的距离为 $r=3.844\times10^8$。求它们之间的万有引力常数 $G$。

解题方法：由于已知引力常数 $G$ 的值，我们可以先计算出两个星球之间的引力，然后根据引力与 $G$ 的关系求出 $G$。

首先，根据牛顿万有引力定律计算引力：

$$F=G\frac{M_1M_2}{r^2}$$

然后，根据已知的引力值求出 $G$：

$$G=\frac{Fr^2}{M_1M_2}$$

例题3：一个物体在地球表面的重力

已知地球的质量约为 $M=6\times10^{24}$，地球半径约为 $R=6.371\times10^6$。求一个质量为 $m=70$ 的物体在地球表面的重力。

解题方法：将地球视为一个质点，物体与地球之间的距离为地球半径 $R$。根据牛顿万有引力定律：

$$F=G\frac{Mm}{R^2}$$
$$F=6.674\times10^{-11}\times\frac{6\times10^{24}\times70}{(6.371\times10^6)^2}$$
$$F=9.8\times70\text{N}$$

这就是物体在地球表面的重力加速度。

例题4：计算卫星绕地球运行的向心力

已知卫星的质量 $m=1000$，地球的质量 $M=6\times10^{24}$，卫星与地球之间的距离 $r=R+h$，其中 $R$ 为地球半径，$h$ 为卫星轨道高度。求卫星绕地球运行的向心力。

解题方法：卫星绕地球运行的向心力由地球对卫星的引力提供。根据牛顿万有引力定律：

$$F=G\frac{Mm}{r^2}$$

向心力 $F$ 还可以表示为：

$$F=m\frac{v^2}{r}$$

联立两个公式，求解卫星速度 $v$。

例题5：计算地球同步轨道上的卫星速度

已知地球的质量 $M=6\times10^{24}$，地球半径 $R=6.371\times10^6$，地球同步轨道的高度 $h=3.578\times10^7$。求地球同步轨道上的卫星速度。

解题方法：卫星在地球同步轨道上的向心力由地球对卫星的引力提供。根据牛顿万有引力定律：

$$G\frac{Mm}{(R+h)^2}=m\frac{v^2}{R+h}$$

解出卫星速度 $v$：

$$v=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$$